1、第2课时空间几何体的表面积和体积考纲索引空间几何体的侧面积、表面积和体积.课标要求了解柱、锥、台和球的表面积和体积的计算公式.知识梳理1. 柱、锥、台和球的侧面积和体积2. 几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于.基础自测1. (教材改编)一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是().A. 8B. 6C. 4D. 2. 已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是().A. B. 3C. 4D. 53. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的侧面积等于().A. 12cm2
2、B. 15cm2C. 24cm2D. 30cm2(第3题)(第5题)4. (教材改编)表面积为3的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为.指 点 迷 津圆台与圆锥、圆柱的演变当圆台的上底演变为0时,成为圆锥(如r1=0)当圆台的上下底相同时成为圆柱,借此可记忆公式(如r1=r2).侧面积与侧面展开图的关系对侧面积公式的记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行.要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题,如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形,则可用矩形面积公式求解.圆锥侧面展开图为扇形,此扇形的特点是半径为圆锥的母线长,圆弧长等于底面的周长,利用这一点可以求出展开图扇
3、形的圆心角的大小.求体积的两种方法:割补法与等积法补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体,把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体.等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.有关球的组合体的两种位置,内切和外接球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合
4、,通常作它们的轴截面进行解题.考点透析考向一几何体的表面积与侧面积例1(2014福建)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于().A. 2B. C. 2D. 1【方法总结】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和.(2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解;(3)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.变式训练1. (2013潍坊考前适应性训练)如图为某个几何体的三视图,则该几何体的侧
5、面积为().(第1题)A. 16+4B. 12+4C. 16+8D. 12+8考向二几何体的体积例2(2013郑州二测)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),其中正(主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的体积是().【审题视点】由侧视图可知为旋转体,由正、俯视图可知为锥体.【方法总结】(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
6、变式训练2. (2013长春模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().(第2题)考向三球的组合体例3(2013郑州第一次质检)在三棱锥A -BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为.【审题视点】把三棱锥A -BCD以AB,CD,AC,BD,AD,BC为对角线补成一个长方体.【方法总结】解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.变式训练3. (2013南昌模拟)某几何体的三
7、视图如图所示,若该几何体各顶点都在一球面上,则这个球的表面积为.(第3题)考向四平面图形的折叠与立体图形的展开例4(2013江南十校联考)如图(1)所示,在边长为12的正方形ADD1A1中,点B,C在线段AD上,且AB=3,BC=4,过点B作BB1AA1,分别交A1D,AD1于点B1,P,过点C作CC1AA1,分别交A1D1,AD1于点C1,Q.将该正方形沿BB1,CC1折叠,使用DD1与AA1重合,构成如图(2)所示的三棱柱ABC-A1B1C1.(1)求证:AB平面BCC1B1;(2)求平面PQA将三棱柱ABC-A1B1C1分成的左、右两部分几何体的体积之比.(1)(2)【审题视点】平面图形
8、折叠后,D与A重合,A,B,C,D形成ABC,由此看出ABBC,ABBB1.从而可计算VA-BCQP的体积.【方法总结】(1)求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.(2)解决折叠问题的技巧解决折叠问题时,要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化,哪些没有发生变化.对折叠问题中的前后两个图形,在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化;在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化.变式训练4. 如图,在三棱柱ABC -ABC中,ABC为等边三角形,AA平面ABC,
9、AB=3,AA=4,M为AA的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC的交点为N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)PC与CN的长.(第4题)经典考题典例(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是().【解题指南】由三视图得出几何体的形状,继而求得几何体的体积.【答案】A真题体验1. (2014辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().(第1题)C. 8-D. 8-22. (2014浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是().(第2题)A. 72cm3B. 90cm3C. 108cm3D. 138cm33. (2014全国新课标)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为().(第3题)参考答案与解析 知识梳理2. (1)各面面积之和(2)侧面积与底面积之和基础自测考点透析【例1】A解析:由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r=1,高h=1,则该圆柱的侧面积S=2rh=2,故选A. 变式训练经典考题真题体验
