1、专题7：平面向量(两课时)班级 姓名 一、前测训练1(1)已知向量a(0，2)，|b|2，则|ab|的取值范围是 (2)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.答案(1)0，4；(2)32.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12 (1，2为实数)，则12的值为_.答案3(1)已知向量a和向量b的夹角为135，|a|2，|b|3，则向量a和向量b的数量积ab_ (2)若向量a，b满足|a|3，|b|1，|a2b|，则向量a，b的夹角是 答案：(1)3；(2) 4. (1) 已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂
2、直，则实数的值为_ (2)已知向量a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k等于_ _答案：(1) ；(2)k125(1)在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD中点，则 (2)已知OAOB2，0，点C在线段AB上，且AOC60， 则_答案：(1) 1；(2) 84二、方法联想1向量的运算方法1 用向量的代数运算方法2 结合向量表示的几何图形变式1：已知平面向量,满足|1，且与的夹角为120，则的模的取值范围是 （答案：（0，考查结合向量的几何图形求解）变式2、ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3， 则_.（答案：，考查外心隐含着垂直关系)2向量的坐标运算 方法：利用向量共线
3、、垂直的条件及向量数量积的定义，列出等式或不等式去求字母的值或范围3向量的数量积运算方法1 利用定义，直接计算方法2 利用向量坐标来运算方法3 基底，将向量的数量积转化为两个基向量的数量积运算变式1：已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，则的最小值为 （答案：23，考查利用向量数量积的定义解决）4向量的夹角 方法1：利用图形及向量夹角的定义求夹角；方法2：求两向量的数量积及两向量的模，再代入数量积公式5向量的综合应用方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算方法2 坐标法，即合理
4、建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决三、例题分析例1：(1) 如图，在ABC中，P是BN上一点，若m，则实数m的值为 (2) 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x ，y ABCPN第(1)题图(3) 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_ _OABCm第(3)题图4560第(2)题图答案：(1)；(2) 1和；(3)教学建议一、主要问题归类与方法：1平面向量的基本定理，向量的分解方法1：利用三角形法则，平行四边形法则以及向量共线定理方法2：利用平行四边形法则进行向量分
5、解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的关系来求解方法3：建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组求解。二、方法选择与优化建议：1第1小题，用方法1较方便，解题的关键是利用B，P，N三点共线，设，再利用基底表示的唯一性，求的值；2第2小题，本题用方法2与方法3均可，但相比而言，方法3运算量较小3第3小题用方法2与方法3均可，关键是自变量的选择，方法2与方法3，都可选择AOC作自变量，来建立xy的函数关系，方法2要用到解三角形的知识，方法3用向量坐标间的关系即可，运算量要小些。例2：(1)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上
6、(与点C、D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_.(2)等腰ABC中，ABAC1，A120，E、F分别是边AB、AC上的点，且m，n，其中m、n（0，1），且m4n1若EF、BC的中点分别为M、N，ABCEFMN则|的最小值为 答案：(1)(，0)；(2)教学建议(1)主要问题归类与方法：1几何图形中的向量关系与计算问题 方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示； 方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标 (2)方法选择与优化建议：1解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难
7、度相当，坐标法相对比较好想一点2第(1)题中，显然选择与作为基底，因为动点O在线段CD上，可设(01)，将用基底表示，利用基底表示的唯一性，列出关系式(用表示x)，从而求出x的范围；3第(2)题用基底法与坐标法均可基底法难点是用基底、来表示，构造三角形AMN，将向量放在AMN中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于M、N分别为EF、BC的中点，有一个向量公式，很容易将和用基底向量来表示()( mn)，()在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关注计算的理性化用坐标法的难点是如何利用条件将E、F两点的坐标表示出来需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质4关注对目标函数消元变形的理性
8、思维，达到简化运算的目的例3：(1)函数ytan(x)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1则() (2)在ABC中，BAC120，AB2，AC1，点D是边BC上一点，DC2BD，E为BC边上的点，且0则 ； (3)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E是BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 xyABO1ABECFD答案：（1）6；（2），；（3）；教学建议一、主要问题归类与方法：1坐标形式下向量数量积的运算方法：利用函数的性质，求出点A、B的坐标2几何图形中的数量积运算 方法1：基底法；选择适当的基底，把向量用基底表示，将数量积运算转化为基底的
9、模与数量积； 方法2：坐标法；建立适当的坐标系，用坐标表示图形中各点的坐标，从而求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示来计算。二、方法选择与优化建议：第1小题，已经有坐标系，用坐标法较方便；第2、3两小题都是几何图形中的数量积运算，第2小题用基底法较方便，第3小题既可用基底法也可用坐标方法，用图形是矩形，所以用坐标法，计算量要小。例4：(1)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为_.(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_ (3) 在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上
10、的两个三等分点，4，1，则的值是_ _.答案(1)1；(2)；(3) 教学建议(1)主要问题归类与方法：1与向量有关的最值问题方法1：利用向量与图形的几何意义，求最值方法2：建立目标函数，求函数的最值.2几何图形中的数量积运算 方法1：基底法；选择适当的基底，把向量用基底表示，将数量积运算转化为基底的模与数量积； 方法2：坐标法；建立适当的坐标系，用坐标表示图形中各点的坐标，从而求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示来计算。(2)方法选择与优化建议：第(1)(2)题是研究最值问题，第(1)题图形的几何意义来探究，因为a，b，c均为单位向量，ab0，作a，b，c，则A，B，C在以O为原点的单位圆
11、上，且OAOB，又因为(ac)(bc)0，即0，即点C在劣弧上，即ACB135，以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则ab(1，1)，所以|abc|表示当动点C在劣弧上运动时，C与(1，1)的距离，因而最大值为1，本题也可以用坐标法，设C(x，y)，将|abc|用x，y表示，用线性规划的知识求最值；第(2)题用基底法或坐标法建立目标函数，再求函数的最值。第(3)题是在图形中求向量的数量积，本题用基底法较方便，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，本题也可考虑特殊化问题，让ADBC，这样也可用建系的方法求解，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.例5：在ABC中，
12、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m(sin C，b2a2c2) ，n(2sin Asin C，c2a2b2)，且mn(1)求角B的大小；(2)设Tsin2Asin2Bsin2C，求T的取值范围.答案：(1) ；(2) T教学建议(1)主要问题归类与方法：1向量与三角函数的综合问题方法：利用向量的知识，转化为三角变换或三角函数性质与图象的问题这类问题，向量只是作为条件的一个呈现形式，利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. (2)方法选择与优化建议： 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇
13、点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.bca四、反馈练习1向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab（，R），则 答案：4；(考查平面向量的线性表示)2.设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_答案：1； (考查平面向量的数量积与向量的线性运算，向量的模)EBACD3如图，在ABC中，ABAC，BC2，若，则 答案：(考查基底法或坐标法求平面向量的数量积)4已知A
14、，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案：90(考查平面向量的线性运算与夹角问题)5如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.答案：22(考查平面向量的线性表示、数量积，基底法与坐标法)6已知a，b是单位向量，ab0若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 答案：1，1 (考查平面向量的模与数量积之间的关系)7在ABC中，已知BC2，1，则ABC面积的最大值是 答案：(考查平面向量数量积与夹角)8已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案：90(考查平面向量数量积与夹角)9在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P是AM上一动点，则()的
15、最小值等于 答案：(考查平面向量数量积，利用不等式求最值问题)10在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案：1(考查平面向量的坐标表示，平面几何图形的性质)11已知ABC中，角A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c设向量m(cos A，sin A)，n(cos A，sin A)，且m与n的夹角为(1)计算mn的值并求角A的大小；(2)若a，c，求ABC的面积S答案：(1) mn；A；(2) (考查平面向量的坐标运算，平面向量的夹角，解三角形与三角形面积问题)12已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边
16、BC，DC上，BEBC，DFDC若1，求的值答案： (考查平面向量的线性表示，数量积，坐标法或基底法)13在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，A(4，0)，C(1，)，点M是OA的中点，点P在线段BC上运动(包括端点) (1)求ABC的大小；(2)是否存在实数，使() ? 若存在，求出满足条件的实数的取值范围；若不存在，请说明理由答案：(1) ABC60； (2) 存在， ，(考查平面向量的坐标运算，两向量垂直)14ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行. (1)求A； (2)若a，b2，求ABC的面积.答案：(1) ；(2) (考查平面向量的坐标运算，解三角形问题)
