1、课时跟踪检测（十六） 定积分的简单应用一、基本能力达标1曲线ycos x(0x2)与直线y1围成的封闭图形的面积是()A4B.C3D2解析：选D如图，求曲线ycos x(0x2)与直线y1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y0，y1，x0，x2围成的矩形的面积故选D.2如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为()A0.18 J B0.26 JC0.12 JD0.28 J解析：选A设F(x)kx，当F1 N时，x0.01 m，则k100.W100xdx50x20.18 (J)3曲线yx22x与直线x1，x1及x轴所围成图形的面积为()A2 B
2、C. D.解析：选AS (x22x)dx (x22x)dx2.4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A. BC. D.解析：选C阴影部分的面积为 (x)dx，故所求的概率P，故选C.5如图是一个质点做直线运动的v t图像，则质点在前6 s内的位移为_ m.解析：直线OA的方程为yx，直线AB的方程为yx9，故质点在前6 s内的位移为x dxdxx2639(m)答案：96如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析：因为函数yex与函数yln x互为反函数，其图像关于直线yx对称，又因为函数yex
3、与直线ye的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e1exdx)2e2ex2e(2e2)2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P.答案：7求抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积解：由y2x4得在点A，B处切线的斜率分别为2和2，则两直线方程分别为y2x2和y2x6，由得两直线交点坐标为C(2,2)，SSABC (x24x3)dx222.8已知抛物线yx22x与直线x0，xa，y0围成的平面图形的面积为，求a的值解：作出yx22x的图像，如图所示当a0时，S (x22x)dxa2，(a1)(a2)20.a0时，若00，a2.若a2，不合题意，
4、综上a1或2.二、综合能力提升1.由曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是()A1 BC.D22解析：选DS (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x) (1)(1)22.2椭圆1所围区域的面积为_解析：由1，得y . 又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S4 dx3dx.由y ，得x2y216(y0)由定积分的几何意义知dx表示由直线x0，x4和曲线x2y216(y0)及x轴所围成图形的面积，dx164，S3412.答案：123求由曲线xy1及直线xy，y3所围成平面图形的面积解
5、：作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积求交点坐标：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，故所求面积SS1S2dx(3x)dx(3xln x) 4ln 3.4函数f(x)ax3bx23x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解：当a0时，由f(x)在R上单调，知b0.当a0时，f(x)在R上单调f(x)0恒成立或f(x)0恒成立f(x)3ax22bx3，ab2且a1.因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线yx2与直线y1所围成的封闭图形联立解得或如图，其面积Sdx(31)(31)4.
