1、第二章 平面解析几何初步2.2 直线的方程2.2.3 两条直线的位置关系自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1能根据斜率判定两条直线平行、相交与重合能根据两条直线平行求直线的方程2能根据斜率判定两条直线垂直能根据两条直线垂直，求直线方程.1两条直线相交、平行与重合的条件(1)代数方法判断两条直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 的位置关系，可以用方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：方程组的解 位置关系 交点个数代数条件无解_无交点A1B2A2B10 且 B1C2B2C10(A2C1A1C20)或
2、_有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10 或_(A2B20)A1A2B1B2C1C2(A2B2C20)A1A2B1B2平行方程组的解 位置关系 交点个数代数条件有无数个解重合无数个交点A1A2，B1B2，C1C2(0)或_(A2B2C20)A1A2B1B2C1C2(2)几何方法判断两条直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 的位置关系，也可用两直线的斜率和在 y 轴上的截距来进行判断具体判断方法如表所示.位置关系平行重合相交图示k，b 满足条件k1k2 且 b1b2k1k2 且 b1b2k1k22两条直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20垂直的条件图示倾斜角的关系设直
3、线 l1 的倾斜角为 1，l2 的倾斜角为 2，则|21|90系数关系l1l2_斜率关系当直线 l1 与 l2 斜率都存在且分别为 k1，k2 时，l1l2_A1A2B1B20k1k211直线 2xy10 与直线 4x2y20 的位置关系是()A平行B相交C重合D平行或重合答案：C2两条直线 xmy120 和 2x3ym0 的交点在 y 轴上，则 m 的值是()A6 B24C6 D以上都不对解析：xmy120，令 x0，y12m，2x3ym0，令 x0，ym3，12mm3，m6，故选 C答案：C3过点(2,0)且与直线 x2y10 平行的直线方程是_解析：直线 x2y10 的斜率为12，所求直
4、线为：y12(x2)，即 x2y20.答案：x2y20典例精析 规律总结课堂互动探究1两条直线相交、平行与重合类型 (1)已知直线方程 l1：2x4y70，l2：x2y50，则 l1 与 l2 的关系是()A平行B重合C相交D以上答案都不对(2)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则m()A2 B3C2 或3 D2 或3【解析】(1)由题可得214275，l1l2，故选 A(2)由m23m1，得 m2 或 m3，当 m2 时，m2 42，当 m3 时，m2 42，m 的值为 2 或3，故选 C【答案】(1)A(2)C【知识点拨】利用两直线相交，平行，重合的条件进行判断时要根据
5、题目合理选择，要特别注意系数为 0 和不为 0，直线的斜率存在和不存在的情况，可进行分类讨论 已知两直线 l1：xmy30，l2：(m1)x2my2m0，若 l1l2，则 m 为()A0 B1 或12C3 D0 或 3解析：由 12mm(m1)0，得 m0 或 m3.当 m3 时，l1：x3y30，l2：2x6y60，l1 与 l2 重合，m3；当 m0 时，l1：x30，l2：x0，l1l2，故选 A答案：A2两条直线垂直的判定类型 已知直线 l1：x2y10 与直线 l2：mxy0 垂直，则 m()A2 B2C12D12【解析】由 l1l2，得 m2(1)0，m2.故选 A【答案】A 直线
6、 ykx 与直线 y2x1 垂直，则 k等于()A2 B2C12D13解析：直线 ykx 与直线 y2x1 垂直，由于直线 y2x1 的斜率为 2，两条直线的斜率之积为1，所以 k12.答案：C 已知两条直线 axy20 和(a2)xy10 互相垂直，则 a 等于()A1 B0C1 D2解析：两条直线垂直，a(a2)10，a22a10，a1.故选 A答案：A3两条直线平行与垂直的综合应用类型 根据下列条件，分别求直线方程：(1)经过点 A(3,0)且与直线 2xy50 垂直的直线方程；(2)经过直线 xy10 与 2xy20 的交点，且平行于直线 x2y30 的直线方程【解】(1)解法一：设所
7、求直线方程的斜率为 k，则 k(2)1，k12，又直线经过(3,0)点，直线方程为 y12(x3)，即 x2y30.解法二：由题可设所求直线方程为 x2ym0，将 A(3,0)代入得 320m0，m3.直线方程为 x2y30.(2)由题可得xy10，2xy20，得x1，y0，直线经过(1,0)点，且与直线 x2y30 平行，设直线方程为 x2yn0，将点(1,0)代入得 120n0，n1，所求直线方程为 x2y10.【知识点拨】(1)与定直线 AxByC0(A2B20)垂直的直线方程为 BxAym0；(2)与定直线 AxByC0(A2B20)平行的直线方程为AxByn0(nC)已知，ABC 中
8、，A(1,1)，B(2，3)，C(3，5)，写出满足下列条件的直线方程(要求最终结果都用直线的一般式方程表示)(1)求直线 AB 的方程；(2)BC 边中点为 D，求中线 AD 的方程；(3)BC 边上的高线的方程；(4)BC 边的垂直平分线的方程解：(1)AB 所在直线的方程为y313x212，即 4xy50.(2)B(2，3)，C(3,5)，D52，1.AD 所在直线的方程为 y1.(3)kBC53328，BC 边上的高的斜率为18，高线的方程为 y118(x1)，即 x8y90.(4)BC 的垂直平分线的方程为 y118x52，即 x8y212 0.4对称问题类型 已知直线 l：x2y2
9、0，试求：(1)点 P(2，1)关于直线 l 的对称点坐标；(2)直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程【分析】点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解【解】(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x0，y0)，则线段 PP的中点 M 在直线 l 上，且 PPl.y01x0212 1，x0222y01220，解得x025，y0195，即 P点的坐标为25，195.(2)设直线 l 关于 A(1,1)的对称直线为 l，则直线 l 上任一点P2(x1，y1)关于点 A 的对称点 P2(x
10、，y)一定在直线 l上，反之也成立由xx121，yy121，得x12x，y12y.P2 在直线 l 上，把 P2 的坐标(x1，y1)代入 l 的方程可得：2x2(2y)20，即 x2y40.直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程为 x2y40.【知识点拨】关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解 已知三角形内角 A 的内角平分线所在的直线是 l：2xy10，而 B(1,2)和 C(1，1)是三角形的另外两个顶点，求顶点 A 的坐标解：设点 B 关于 l 的
11、对称点为 B1(x1，y1)，lBB1，线段 BB1 的中点在 l 上，kl2，kBB1y12x11，y12x1112，即 x12y130.又 BB1 中点坐标是x112，y122，2x112y12210.联立可得 B1(3,0)直线 B1C 的方程为y11 x131，即 x2y30.解方程组x2y30，2xy10，得 A13，53.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 两条直线垂直的判定1已知直线 l1：2xy20，l2：ax4y10，若 l1l2，则 a 的值为()A8 B2C12D2解析：由题可得 2a40，a2，故选 D答案：D知识点二 两条直线相交的判定2已知直线 l1：(k1)x
12、y10 和 l2：(k3)xky10，若 l1 与 l2 有公共点，则 k 的取值范围为()Ak1 且 k3 Bk3Ck1 Dk1 且 k3解析：由题可得k1k3 1k，k1 且 k3，当 k1 时，l1 与 l2 重合，有公共点，故选 B答案：B知识点三 两条直线垂直的应用3过点 P(1,2)与直线 2xy50 垂直的直线在 y 轴上的截距为()A3 B32C5 D52答案：B知识点四 两条直线平行的应用4过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：设所求直线方程为 x2ym0，将(1,0)代入得 10m0，m1，x2y10.答案：A知识点五 两条直线位置关系的判定5已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求 m 的值，使得：(1)l1 与 l2 相交；(2)l1l2；(3)l1l2.解：(1)由已知得 13m(m2)，即 m22m30，解得m1 且 m3，故当 m1 且 m3 时，l1 与 l2 相交(2)由已知得 1(m2)3m0，即 m12，故当 m12时，l1l2.(3)当1m2m3 63m，即 m1.故当 m1 时，l1l2.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块
