1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 选修1-1 1-2 第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 2.2 椭圆的简单几何性质第二章 2.2.1 双曲线及其标准方程第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 典例探究学案 2课 时 作 业 3自主预习学案 1第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 自主预习学案第二章 2.2 2.2.1成才之路
2、高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程2会用待定系数法求双曲线的标准方程第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 重点：双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线标准方程的推导第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 双曲线的定义思维导航我们已知函数 y1x的图象是双曲线，生活中我们也见过类似双曲线的形状的物品，如冷却塔的纵截面，那么双曲线是怎样定义的，怎样画出双曲线呢？给你一条拉链、两个图钉、一支笔，你能画出双曲线吗？第二章 2.2 2.2.1成才之路 高
3、中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 新知导学1类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义在平面内到两个定点F1、F2距离之_的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_，两焦点之间的距离叫做双曲线的_差焦点焦距第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 2定义中为何强调“绝对值”和“02a|F1F2|”(1)在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|，则动点的轨迹是_(2)双曲线定义中应注意关键词“_”，若去掉定义中“_”三个字，动点轨迹只能是_两条射线不存在绝对值绝对值双曲线的一支第二章 2.2
4、2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 思维导航类比椭圆方程的建立过程，你该怎样建立双曲线的方程呢？在椭圆标准方程推导过程中，是令b2a2c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2c2a2.这样做有什么好处？双曲线的标准方程第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 新知导学3焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为_，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为_4在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为_.x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)a2b2c2第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课
5、程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 5对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效的避免知识的混淆在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.椭圆双曲线定义|MF1|MF2|2a定义|MF1|MF2|2a因为 ac0，所以令 a2c2b2(b0)因为 0a0)x2a2y2b21 或y2a2x2b21(ab0)x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0，a 不一定大于 b)第二章 2.2 2.2
6、.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 6.在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看x2、y2项_的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看x2、y2_的符号分母系数第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 牛刀小试1已知两定点F1(3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是()A|PF1|PF2|5 B|PF1|PF2|6C|PF1|PF2|7D|PF1|PF2|0答案 A第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 解析 A中，|F1F
7、2|6，|PF1|PF2|5|F1F2|，动点P的轨迹不存在；D中，|PF1|PF2|0，即|PF1|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 点评 注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”实际上，(1)若2a|F1F1|，即|PF1|PF2|F1F2|，根据平面几何知识，当|PF1|PF2|F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线；当|PF2|PF1|F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射线；(2)若2a|F
8、1F2|，即|PF1|PF2|F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；(3)特别的当2a0时，|PF1|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 2双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为()A(22，0)B(52，0)C(62，0)D(3，0)答案 C第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 解析 双曲线方程 x22y21 化为 x2y2121，a21，b212，c2a2b232，c 62，双曲线
9、的右焦点坐标为(62，0)第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 3双曲线x210y221 的焦距为()A3 2B4 2C3 3D4 3答案 D解析 由双曲线的标准方程，知 a210，b22，则 c2a2b210212，因此 2c4 3，故选 D第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 4(2015福建理)若双曲线 E：x29y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5 D3答案 B解析 由题，|PF1|PF2|2a6，即|3|
10、PF2|2a6，解得|PF2|9.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 5满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？(1)|x52y2 x52y2|6；(2)x42y2 x42y26.答案(1)以(5,0)，(5,0)为焦点的双曲线；(2)以(4,0)，(4,0)为焦点的双曲线的右支第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 典例探究学案第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 椭 圆 x2m y2n 1(mn0)与 双 曲 线 x2a y2b 1(a0，
11、b0)有相同的焦点 F1，F2，且 P 是这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|等于_.分析 因为涉及与焦点的距离问题，可以首先考虑利用定义解决双曲线定义的应用第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 解析 由椭圆的定义得|PF1|PF2|2 m，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2 a，由2 减去2 的差再除以 4 得|PF1|PF2|ma.答案 ma方法规律总结 在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双
12、曲线的定义列出关系式第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 P 是双曲线x264y2361 上一点，F1、F2 是双曲线的两个焦点，且|PF1|17，则|PF2|的值为_.答案 33解析 在双曲线x264y2361 中，a8，b6，故 c10.由 P 是双曲线上一点得，|PF1|PF2|16.|PF2|1 或|PF2|33.又|PF2|ca2，|PF2|33.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线经过点(3，4 2)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2
13、)求与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲线方程分析 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系c2a2b2的运用待定系数法求双曲线的标准方程第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 解析(1)由已知可设所求双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则32a2 9b2125a2 8116b21，解得a216b29.双曲线的标准方程为y216x291.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1(2)解法一：设双曲线方程为x
14、2a2y2b21(a0，b0)，由题意易求得 c2 5.又双曲线过点(3 2，2)，3 22a2 4b21.又a2b2(2 5)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为x212y281.解法二：设双曲线方程为x216k y24k1，将点(3 2，2)代入得 k4，所求双曲线方程为x212y281.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 方法规律总结 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y轴上，还是两坐标轴都有可能(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x2a2y2b21 或y2a2x
15、2b21(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为 mx2ny21(mn0，n0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为 mx2ny21，但这里应有 mn0，b0)，则有10a2 4b21a2b29，a25，b24.所求的双曲线的方程为y25x241.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 双曲线的焦点三角形问题设双曲线x24y291，F1、F2 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上(1)若F1PF290，求F1PF2 的面积；(2)若F1PF260时，F1PF2 的面积是多少？若F1PF2120时，F1PF2 的面积又是多少？分析 由于三角形面
16、积 SF1PF212|PF1|PF2|sin，所以只要求出|PF1|PF2|即可因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|PF2|.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 解析(1)由双曲线方程知 a2，b3，c 13，设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，如图所示由双曲线定义，有 r1r22a4，两边平方得 r21r222r1r216.F1PF290，r21r224c24(13)252.2r1r2521636，SF1PF212r1r29.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1(2)若F1P
17、F260，在F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2r21r222r1r2cos60(r1r2)2r1r2，而 r1r24，|F1F2|2 13，r1r236.于是 SF1PF212r1r2sin601236 32 9 3.同理可求得若F1PF2120时，SF1PF23 3.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 方法规律总结 双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系，请同学们多加注意第二章 2
18、.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 若 F1、F2 是双曲线x29y2161 的两个焦点，P 在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2 的大小解析 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 上式两边平方，得|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|3664100，由余弦定理，得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|1001002|PF1|PF2
19、|0.F1PF290.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型分析 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论解析(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；分类讨论思想的应用第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1(3)当 k0 时，方程为y24 x24k1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；(4)当 0k1 时，方程为x24ky24
20、1，表示焦点在 y 轴上的椭圆第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 方法规律总结 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 讨论方程 x25m y22m1(m3)所表示的曲线类型解析 当 2m0,2m0，此时方程 x25my22m1 表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m2m0，此时方程 x25m y22m1 表示焦点在 x 轴上的椭圆第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新
21、课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 注意参数取值范围对解题的影响已知双曲线 8kx2ky28 的一个焦点为(0,3)，求 k 的值错解 将双曲线方程化为标准方程x21ky28k1.因为焦点在y 轴上，所以 a28k，b21k，所以 c a2b28k1k3，即7k9，所以 k79.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 辨析 上述解法有两处错误：一是 a2、b2 确定错误，应该是 a28k，b21k；二是 a、b、c 的关系式用错了在双曲线中应为 c2a2b2.正解 将双曲线方程化为 kx2k8y21，即x21ky28k1.因为一个焦点是(0
22、,3)，所以焦点在 y 轴上，所以 c3，a28k，b21k，所以 a2b28k1k9kc29.所以 k1.第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 已知定点A(3,0)和定圆C：(x3)2y216，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程解析 设 M(x，y)，设动圆与圆 C 的切点为 B，|BC|4，则|MC|MB|BC|，|MA|MB|，所以|MC|MA|BC|，即|MC|MA|BC|4|AC|.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a2，c3，所以 b25.所以所求圆心 M 的轨迹方程是x24y251(x2)第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 点评 求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支若F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，|PF1|PF2|2a0)，即|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支第二章 2.2 2.2.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1 课 时 作 业（点此链接）
