1、天津市南开翔宇学校2020-2021学年高一数学上学期10月第一次月考试题(含解析)考试时间:2020年10月9日 总分:100分时长:100分钟一、选择题(共10小题,每题3分.共30分)1. 若全集为R,集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据补集运算求解出,然后根据交集的概念和运算求解出的结果.【详解】因为,所以,又因为即,所以,故选:B.2. 命题“,”的否定为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系求解.【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定为“,”故选A【点睛】本题考查全称命题
2、和特称命题的否定,属于基础题.3. 对于实数,“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析:由于不等式的基本性质,“ab”“acbc”必须有c0这一条件解:主要考查不等式的性质当c=0时显然左边无法推导出右边,但右边可以推出左边故选B考点:不等式性质点评:充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件4. 设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合之间的包含关系排除A,C,D,即可得出结论.详解】集合,所以选项A错误,所以选项B正确,所以选项C,D错误.故选:B.【点睛】本题主要考查了元
3、素与集合,集合与集合的关系问题.属于容易题.5. 若,则下列结论中不恒成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将,转化为,利用不等式的基本性质判断A,B的正误,利用重要不等式判断C的正误,利用特殊值判断D的正误.【详解】因为,所以所以,即,故A,B正确.因为,所以,所以故C正确.当 时, ,故D错误.故选:D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,基本不等式,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.6. 设集合,若,则实数a的值为( )A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由A,B,以及两集合的交集,确定出a的值即可【详解】集合,a=2或a2=2,即a=2或,当
4、a=2时,A=2,4,0,B=2,4,此时AB=2,4,不合题意;当a=时,A=,2,0,满足题意,当a=时,A=,2,0,满足题意故选D【点睛】本题考查了交集及其运算,考查了元素的三要素,熟练掌握交集的定义是解本题的关键7. 已知函数(),则该函数的( )A. 最小值为3B. 最大值为3C. 没有最小值D. 最大值为【答案】D【解析】【分析】先由基本不等式得到,再转化得到(),最后判断选项即可.【详解】解:因为,所以,由基本不等式:,当且仅当即时,取等号.所以,即,所以(),当且仅当即时,取等号.故该函数最大值为:故选:D【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,是基础题.8. 已知命题“,使”
5、是假命题,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】原命题等价于恒成立,故即可,解出不等式即可.【详解】因为命题“,使”是假命题,所以恒成立,所以,解得,故实数的取值范围是故选B【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数而二次函数的恒成立问题,也可以采取以上方法,当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时,可以直接采用判别式法.9. 定义集合运算:.设,则集合中的所有元素之和为( )A. 0B. 1C. 2D.
6、3【答案】A【解析】【分析】根据定义,逐个分析的取值情况,由此得到的取值情况,从而集合可确定,则集合中所有元素的和可求.【详解】当时,;当时,;当时,;当时,;所以,所以中所有元素之和为,故选:A.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是理解的运算方法,由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.10. 设,且不等式恒成立,则正实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用题设条件和基本不等式求得的最小值,即可得到,解出的取值范围即可【详解】,(当且仅当时取等号,又恒成立,解得:,故选:A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,属于中档题利用基本不等式求最值时,要注意其必
7、须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方二、填空题(共5小题,每题3分,共15分)11. 若全集,集合,则MN= _.【答案】【解析】分析】化简集合,根据集合的交集运算可得解.【详解】或,所以MN=.故答案为:12. 函数,的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式可知,由此求解出函数的最大值.【详解】因,
8、取等号时,即,所以的最大值为,故答案为:.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.13. 若关于的不等式的解集,则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系,是方程的两根,易求的值.【详解】解:显然,且是方程的两根,由韦达定理
9、得,解得.故答案为:.【点睛】考查一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系,基础题.14. 已知,若,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】两集合的交集为空集,则两个集合没有公共部分,可以得到两个集合的端点的关系,从而解得实数的取值范围.【详解】当集合为时,解得.当集合不为,即时,有如下两种情况:集合中的元素都比集合中元素小,结合解得;集合中的元素都比集合中元素大,结合解得.综上所述,的取值范围为或.故答案为.【点睛】本题考查利用集合的关系求参数的值,解题时也可借助数轴来分析.15. 若不等式对恒成立,则实数m的最大值为_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为“”,将变形为,将变形式
10、展开,利用基本不等式求解出其最小值,由此确定出的最大值.【详解】因为不等式对恒成立,所以且,所以又因为,所以,所以,取等号时且,即,所以,所以,所以的最大值为,故答案为:.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.三、解答题(共5小题,共55分)16. 已知集合,1
11、当时,求;2若,求实数k的取值范围【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)当时,写出两集合,然后利用数轴求;(2)根据条件可知,这样利用数轴转化为不等式组求解.【详解】(1)当时,则 (2) ,则 (1)当时,解得; (2)当时,由 得,即,解得 综上, 【点睛】本题重点考查集合的交并补的运算,以及利用集合的关系求参数取值范围问题,意在考查基础知识,属于基础题型.17. 已知集合.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.【答案】(1);(2)时,元素为;时,元素为;(3).【解析】【分析】(1
12、)根据与的关系作分类讨论,当时,为一元一次方程,必有一解;当时,根据进行分析求解,由此确定出的取值范围;(2)根据与的关系作分类讨论,时同(1)分析;时根据进行分析求解,并写出对应元素;(3)考虑反面:至少有两个元素,即有两个元素,根据求解出的范围,然后取补集即可得到结果.【详解】(1)当时,此时,所以不是空集,不符合,当时,若是空集,则,所以,综上可知:;(2)当时,此时,满足条件,此时中仅有一个元素,当时,所以,此时方程为,即,此时中仅有一个元素,综上可知:时,元素为;时,元素为;(3)当中至少有两个元素时,即中有两个元素,所以,所以,故当中至多只有一个元素时,.【点睛】易错点睛:分析形如
13、的方程有几个根的时候,一定要注意讨论参数的情况,不能直接认为是一元二次方程.18. 已知函数.(1)求关于的不等式的解集;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用一元二次不等式的解法求解即得;(2)根据不等式恒成立的意义,确定求函数的最小值,并利用配方法求得最小值,将问题转化为解关于的简单的绝对值不等式,根据绝对值的意义即可求解.【详解】(1)由得,即,所以的解集为;(2)不等式对任意恒成立,由得的最小值为,所以恒成立,即,所以,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解;考查不等式在实数集上恒成立问题,涉及二次函
14、数的最值和简单绝对值不等式的求解,属基础题,难度一般.19. 已知关于的不等式.()若不等式的解集为,求,的值;()求不等式的解集.【答案】(),;();【解析】【分析】()的两根为或,且,根据根与系数的关系即可求出,的值;()原不等式化为,即可求出不等式的解集【详解】解:()不等式的解集为或,的两根为或,且,解得,;() ,即,或原不等式解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及方程的根与不等式的解集之间的关系,属于中档题20. 已知关于的不等式.(1)求不等式的解集;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【分析】(1)通过因式分解得:,然后分3种情况,当,时,分别求出不等式的解集;(2)根据,列出不等式组,可确定实数的取值范围.【详解】(1),当,即时,不等式解集为;当,即时,不等式解集为;当,即时,不等式解集为.(2)由上(1),时,所以,得,所以,实数的取值范围.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法,分类讨论是解决本题的关键;同时考查集合之间的包含的关系,可通过解不等式组来确定参数的取值范围,属于简单题.