1、第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1理解两点的距离公式及中点公式的推导方法2掌握两点的距离公式及中点公式3体会坐标法在研究几何问题中的作用.1两点的距离公式已知平面直角坐标系中两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 d(A，B)|AB|_.特殊形式：(1)若 B 点为原点，则 d(A，B)_.(2)若 A，B 两点在 x 轴上，或在与 x 轴平行的直线上，则d(A，B)_.(3)若 A，B 两点在 y 轴上，或在与 y 轴平行的直线上，则d(A，B)_.x2x12y2y12x21
2、y21|x2x1|y2y1|2中点公式已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，点M(x，y)是线段 AB 的中点，则 x_，y_.这就是线段中点坐标的计算公式，简称_x1x22y1y22中点公式1已知点 A(3,4)和 B(0，b)，且|AB|5，则 b 等于()A0 或 8 B0 或8C0 或 6 D0 或6解析：|AB|3024b25，b0 或 b8，故选 A答案：A2若 A(1,5)，B(2,3)，C(3,1)，点 D 是 AB 的中点，则 d(C，D)_.解析：xD122 32，yD532 4，d(C，D)33221423 52.答案：3 523已知点 A(x,
3、5)关于点 M(2，y)的对称点是 B(1,3)，则 xy_.解析：由题可得x12 2，532 y，x3，y4，xy12.答案：12典例精析 规律总结课堂互动探究1两点的距离公式类型 (1)已知点 A(a,3)，B(3,3a3)，|AB|5，求 a；(2)已知点 A(5,12)，若点 P 在 y 轴上，且|PA|13，求 P 到原点的距离【解】(1)由|AB|5，可得 a3233a325，即 5a23a80，解得 a85或 a1.(2)因为点 P 在 y 轴上，可设 P 点的坐标为(0，y)，则由|PA|13 得 50212y213，(y12)2144，y0 或 y24.P 到原点的距离为 0
4、 或 24.【知识点拨】两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题，根据条件直接代入公式即可，要注意公式的变形，以及公式中两点的位置没有先后之分 点 A(2,0)，B(4,2)，若|AB|2|AC|，则 C点坐标为()A(1,1)B(1,1)或(5，1)C(1,1)或(1,3)D无数多个解析：设 C(x，y)，则 2 x22y2 422202，(x2)2y22，满足|AB|2|AC|的点 C 有无数多个答案：D 已知ABCD 的两个顶点坐标分别为 A(4,2)，B(5,7)，对角线的交点为 E(3,4)，求另外两个顶点 C，D 的坐标【分析】平行四边形的对角线互相平分，交点为两个相对顶点的中
5、点，利用中点坐标公式求【解】设 C(x1，y1)，D(x2，y2)E 为 AC 的中点，3x142，4y122.解得x110，y16.又E 为 BD 的中点，35x22，47y22.解得x211，y21.C 的坐标为(10,6)，D 点的坐标为(11,1)【知识点拨】若 M(x，y)是 A(a，b)与 B(c，d)的中点，则xac2，ybd2.也可理解为 A 关于 M 的对称点为 B，若求 B，则可用变形公式 c2xa,d2yb.设点 P 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴上，线段PQ 的中点是 M(1,2)，则|PQ|_.解析：设 P(a,0)，Q(0，b)，由中点坐标公式，得a02 1，0b
6、2 2，a2，b4，|PQ|a2b22 5.答案：2 52坐标法的应用类型 ABD 和BCE 是边 AB，BC 在直线 AC 上且位于直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|CD|.【分析】这是一个初中几何常见的证明题，题目中明确要求用坐标法进行证明，这就要先建系、设点的坐标，再进行运算证明【证明】如图所示，以 B 点为坐标原点，取 AC 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设ABD 和BCE 的边长分别为 a 和 c，则 A(a,0)，Ec2，3c2，C(c,0)，Da2，3a2，于是|AE|c2a 232 c0 2a2acc243c24 a2acc2，|CD|a2c 2
7、32 a0 2a24 acc23a24 a2acc2.|AE|CD|.已知ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的直角坐标系，证明：2|AM|BC|.证明：如图，建立直角坐标系，设点 B，C 的坐标分别是(b,0)，(0，c)，因为点 M 是 BC 的中点，故点 M 的坐标为b2，c2.由两点间距离公式，得 d(B，C)c2b2，d(A，M)b24 c24 b2c22.所以 2d(A，M)d(B，C)，即 2|AM|BC|.3两点距离公式的应用类型 求函数 y x21 x24x8的最小值【分析】此函数的定义域为 R，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂，如果借助于平面上的两点间
8、的距离公式，将其转化为几何问题，则非常容易解决问题的关键是把函数表达式的两部分表示为两点间距离公式的形式，进而求解【解】yx21x24x8x02012x22022.令 A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题转化为在 x 轴上求一点P(x,0)，使得|PA|PB|取得最小值因为 A 关于 x 轴的对称点为A(0，1)，所以(|PA|PB|)min|AB|2022124913.即函数 y x21 x24x8的最小值为 13.【知识点拨】本题是利用平面上两点之间的距离公式求函数的最值将代数问题转化为几何问题，体现了数学上的转化思想及数形结合思想该类题目的解决是若题目条件中有形如 x2y2、
9、xa2yb2等的式子时，可考虑运用两点间的距离公式解决问题 已知 A(6,1)，B(0，7)，C(2，3)(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)求ABC 的外心的坐标解：(1)证明：|AB|2(06)2(71)2100，|BC|2(20)2(37)220，|AC|2(26)2(31)280，由|AB|2|BC|2|AC|2，ABC 是直角三角形，C90.(2)直角ABC 的外心是斜边 AB 的中点，所以外心坐标为602，172，即(3，3)即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 两点的距离公式1已知 A(1,1)，B(3,4)，则 d(A，B)()A 29B29C5 D25答案：C2光线从点
10、 A(3,5)射到 x 轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则从 A 到 B 的光线的距离为()A5 2B2 5C5 10D10 5解析：点 B(2,10)关于 x 轴的对称点为 B(2，10)，由光线的对称性可知，从 A 到 B 的光线的距离就是线段 AB的长度，|AB|23210525 10，故选 C答案：C知识点二 中点公式3已知 P(8，3)，Q(5，3)，则线段 PQ 中点 M 的坐标为()A32，3B32，3C32，3D32，3答案：B4点 A(1,3)关于点 P(3,4)对称的点 A坐标为_解析：设 A为(x，y)，x12 3，y32 4，x5，y5.A为(5,5)答案：(5,5)知识点三 两点的距离公式的应用5y 轴上点到 A(2,1)与 B(3，2)两点距离之和的最小值为_解析：A(2,1)关于 y 轴的对称点为 A(2,1)，则 y 轴上点到A，B 两点距离之和的最小值为|AB|232122 34.答案：34word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块