1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2.2函数的表示法1函数的表示方法函数的表示方法内容优点列表法列出表格表示两个变量之间函数关系的方法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系图像法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法直观地表示函数的局部变化规律,进而可以预测它的整体趋势解析法一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式表示出来的方法能较顺利地通过计算手段研究函数性质2.分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数(1)函数的解析式是含有几个变量的方
2、程吗？提示：因变量y是自变量x的函数，若能用解析式表示为yf(x)，这是关于x与y的二元方程(2)函数的图像一定是连续曲线(含直线)吗？提示：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)函数都可以用函数解析式表示()提示：有的函数不能用函数解析式表示，如气温时间函数(2)银行电子屏上的利率表是列表法表示函数()提示：银行的利率是存期的函数，银行电子屏上的利率表是列表法表示函数(3)分段函数是由多个函数组成的()提示：分段函数是一个函数，只是同一个函数在不同范围内的对应关系不同2已知函数f(x)2x1，则f(x1)等于()A2x1 Bx1
3、C2x1 D1【解析】选C.f(x1)2(x1)12x1.3已知函数f则f_，f_【解析】因为函数f所以f12(1)3，所以ff(3)9.答案：394(教材例题改编)已知f(x)|x1|，若f(a)2，则a_【解析】由f(a)2，得|a1|2，解得a1或a3.答案：1或3类型一求函数解析式(数学运算)角度1 待定系数法求函数解析式【典例】1.已知f(x)是一次函数，且满足2f(x3)f(x2)2x21，求f(x)的解析式【思路导引】设f(x)axb(a0)，根据题意求a，b.【解析】设f(x)axb(a0)，则2f(x3)f(x2)2a(x3)ba(x2)b2ax6a2bax2abax8ab2
4、x21，所以a2，b5，所以f(x)2x5.2已知f(x)为二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)4x，求f(x)的解析式【思路导引】设f(x)ax2bxc(a0)，根据题意求a，b，c.【解析】因为f(x)为二次函数，设f(x)ax2bxc(a0).由f(0)1，得c1.又因为f(x1)f(x)4x，所以a(x1)2b(x1)c(ax2bxc)4x，整理，得2axab4x，求得a2，b2，所以f(x)2x22x1.本例2条件“f(0)1，f(x1)f(x)4x”改为“f(1x)f(1x)，f(2)1，f(1)3，”如何求f(x).【解析】由f(1x)f(1x)且f(1)3，可设f(x
5、)a(x1)23(a0)，又因为f(2)a(21)231，故a2，所以f(x)2x24x1.角度2换元法求函数解析式【典例】1.已知f，则f的解析式为()AfBfCfDf【思路导引】令t，解出x，代入已知代数式，化简即可得出答案【解析】选C.设t，则x，所以f，即f.2已知f(1)x2，求f(x).【思路导引】观察1与x2之间的关系，可以利用换元法，即令1t，然后解出x，代入代数式即可求得；也可根据两者之间的关系进行拼凑【解析】方法一：令t1，则t1，x(t1)2，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t24t3，f(x)x24x3(x1).方法二：f(1)x21443(1)24(1)3，因为
6、11，所以f(x)x24x3(x1).角度3解方程组法求函数解析式【典例】1.已知函数yf(x)满足f(x)2f3x，则f(x)的解析式为_【思路导引】用代换x，即可与原方程构成关于f(x)，f的方程组，解该方程组就得函数f的解析式【解析】由题意知函数yf(x)满足f(x)2f3x，即f(x)2f3x，用代换上式中的x，可得f2f(x)，联立得解得f(x)x(x0).答案：f(x)x(x0)2已知3f2fx3，则f的解析式为_【思路导引】用x代换x，即可与原方程构成关于f(x)，f(x)的方程组，解该方程组就得函数f的解析式【解析】因为3f(x)2f(x)x3，用x替换x得3f(x)2f(x)
7、x3，32得5f(x)5x3，所以fx.答案：fx函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)解方程组法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f(x).1已知f(x)是一次函数，且f(x1)3x5，则f(x)的解析式为()Af(x)3x2 Bf(x)3x2Cf(x)2x3 Df(x)2x3【解析】选B.设f(x)kxb(k0)，所以f(x1)k(x1)b3x5，即kxkb3x5，得：k3，b2
8、，所以f(x)3x2.2已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)的解析式【解析】设所求的二次函数为f(x)ax2bxc(a0).因为f(0)1，所以c1，则f(x)ax2bx1.因为f(x1)f(x)2x对任意的xR都成立，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，得所以所以所求二次函数为f(x)x2x1.3若函数f(x)对于任意实数x恒有f(x)2f(x)3x1，求f(x)的解析式【解析】因为f(x)2f(x)3x1，所以f(x)2f(x)3x1，联立方程组解得f(x)x1.类型二函数的图像及其应用(直观想象)【典例】1.明清时期
9、，古镇河口因水运而繁华有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图像是()【思路导引】由题意可以得出各段过程中y随x变化而变化的趋势，即可得答案【解析】选A.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x的增大而增大；停留一段时间内，y随x的增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x的增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x的增大而减少2已知函数yf的对应关系如表，函数yg的图像是如图
10、所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f(2)的值为_，f(g(2)的值为_.x123f(x)321【思路导引】根据函数图像和表格确定函数值的对应关系即可得到结论【解析】由题意可知f(2)2，g(2)1，f(1)3，则g(f(2)g(2)1，f(g(2)f(1)3.答案：133作出下列函数的图像(1)f(x)1x.(2)f(x).(3)f(x)x24x1.【思路导引】利用列表、描点、连线的步骤作函数图像【解析】(1)f(x)1x是一次函数，它的图像是一条直线列表：x01y10描点、连线得函数的图像如图：(2)f(x)x，其定义域为x|x1，它的图像为直线yx除去
11、点(1，1)的部分，如图：(3)f(x)x24x1，它的图像为抛物线列表如下：x01234y12321描点、连线得函数的图像如图：1描点法作函数图像的基本步骤求函数定义域化简解析式在定义域内选择关键点列表在坐标系中描出这些关键点用光滑曲线连接这些关键点得函数图像2作图像时要注意的一些关键点与坐标轴的交点；图像上的最高点、最低点；还要分清这些关键点是实心点还是空心点提醒：函数的图像可以是一群孤立的点或连续的曲线，也可以是间隔开的线段1列车从A地出发直达500 km外的B地，途中要经过距A地200 km的C地，假设列车匀速前进5 h后从A地到达B地，则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图像为(
12、)【解析】选A.当t0时，s200.列车的运行速度为100 km/h，所以列车到达C地的时间为2 h，故当t2时s0.2如图所示，函数f的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为，则f_，f_(用数字作答)【解析】由题干图可知f1，ff(2)0.答案：103某商场新进了10台液晶彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来【解析】列表法如下：x(台)12345y(元)3 0006 0009 00012 00015 000x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000图像法，如图所示解析法
13、：y3 000x，x1，2，3，10类型三分段函数及其应用(逻辑推理、直观想象)角度1求分段函数的值【典例】1.已知函数f(x)则f(f(1)()A B2 C4 D11【思路导引】首先求出f(1)，并根据其所在区间代入对应解析式求解f(f(1).【解析】1.选C.因为12，所以f(3)34，故f(f(1)4.2函数f(x)若f(x)10，则x()A5 B3 C3 D3或5【思路导引】对x0和x0分类讨论，列出方程，求解即可【解析】选B.当x0时，x2110，解得x3，当x0时，2x10，解得x5(舍)，则x3.角度2分段函数的图像【典例】已知函数f(x)|2x1|.(1)用分段函数的形式表示该
14、函数(2)在下边所给的坐标系中画出该函数的图像(3)根据图像直接写出f(x)的定义域、值域(不要求证明).【思路导引】首先去掉函数解析式中的绝对值符号，即得分段函数的解析式，然后作出函数图像即可【解析】(1)因为f(x)|2x1|，由2x10，得x；由2x10，得x.得分段函数解析式f(x)(2)如图，函数图像为两条射线(3)观察图像，得函数的定义域为R，值域为0，).1分段函数求函数值的方法(1)确定需要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入
15、不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内3分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏1已知函数f(x)则f的值为()A B6 C D【解析】选D.根据题意，函数f(x)则f(2)222226，则ff2.2已知函数f(x)若f(x)2，则x_【解析】若x2，则x2，可得x无解；若x2，则x23x
16、2，求得x2或x1(舍去).答案：23函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)_【解析】当x2时，设f(x)cxd，则解得所以f(x)2x，所以f(x)答案：【补偿训练】某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图像如图所示求：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元？(2) y与x之间的函数解析式【解析】(1)由题意可知当0x100时，设函数解析式ykx，又因过点(100，40)，得解析式为yx，当月通话为50分钟时，且050100，所以应交话费y5020(元).(2)当x100时，设y与x的函数解析式为yaxb，由图知x100时，y40；x2
17、00时，y60.则有，解得所以当x100时，函数解析式为yx20.综上所述，函数解析式为y备选类型图像变换(直观想象)【典例】若函数yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x1)的图像大致为()【思路导引】根据两个解析式之间的对应关系，找出函数图像之间的关系，第一步，f(x)中的自变量x变为x1，即得f(x1)，显然与f(2)对应的两个自变量中，分别为2与1，故需要把函数f(x)的图像向左平移一个单位；第二步，f(x1)与f(x1)的对应，显然，同一个自变量，两个函数值互为相反数，故把函数f(x1)的图像作一个关于x轴的对称变换即可【解析】选C.yf(x)的图像向左平移1个单位，可得函数yf(x
18、1)的图像，再作关于x轴对称的图像，可得函数yf(x1)的图像变换作图法已知函数f(x).(1)把函数f(x)化为f(x)a的形式(2)用平移变换的方法作出函数f(x)的图像，并说明作图过程(3)若定义域为(1，)，通过观察图像直接写出函数f(x)的值域【解析】(1)f(x)11.(2)函数y的图像向右平移个单位得函数y的图像，向上平移1个单位得函数y1的图像如图所示(3)通过观察图像可知函数f(x)的值域为(，1)(1，).1函数yf(x)的对应关系如下表，则f(11)()x0x55x1010x1515x20y2345A.2B3C4D5【解析】选C.根据表格知：f(11)4.2已知f(x)则
19、f(f(3)等于()A0 B C2 D9【解析】选B.f(f(3)f(0).3如果一次函数f(x)的图像过点(1，0)及点(0，1)，则f(3)()A3 B2 C2 D3【解析】选B.设一次函数的解析式为f(x)kxb，其图像过点(1，0)，(0，1)，所以解得所以f(x)x1，所以f(3)312.4如图所示，是吴老师散步时离家距离y与行走时间x之间的函数关系的图像，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是()【解析】选D.图像显示有一段时间吴老师的离家距离是个定值，所以A、B、C三个选项均不符合题意，只有D选项符合题意5已知函数f(x)则f(f(2)的值为()A4 B12 C16 D36【解析】选B.因为f(x)所以f(2)4，因此f(f(2)f(4)12.关闭Word文档返回原板块