1、第二章 基本初等函数学习目标1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识3通过实例了解函数模型的广泛应用.进一步巩固函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法.常用的函数模型1直线型：ykxb(k0)；2抛物线型：yax2bxc(a0)；3指数函数型：yabxc(a0)；4对数函数型：ymlogaxn(m0，a0，且 a1)；5幂函数型：yaxn(a0)；温故知新6分段函数型：yfx xA，gx xUA.思考探究 解决实际应用问题的关键是什么？提示 解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型 1.建模通过建立实际问题的数学
2、模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模 温故知新2解决函数应用问题的基本步骤：(1)认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化；(2)运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；(3)将所得函数问题的解代入实际问题中进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答以上步骤可用框图表示为 温故知新【例1】在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)3000 x20 x2(单位：元)，其成本函数为C(x)500
3、 x4000，(单位：元)，利润是收入与成本之差 问题探究(1)求利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)?(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？(3)边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？【解】由题意知，x1,100，且xN.(1)P(x)R(x)C(x)(3000 x20 x2)(500 x4000)20 x22500 x4000.MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22500(x1)4000(20 x22500 x4000)248040 x.(2)P(x)20 x22500 x400020 x1252274125.取x62或63时，则P(x)7
4、4120最大MP(x)248040 x是减函数，取x1，则MP(x)2440最大所以二者不具有相同的最大值(3)边际利润函数MP(x)P(x1)P(x)，当x1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大MP(x)248040 x是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相对在减少规律技巧(1)认真阅读，理解应用问题的实际背景，将实际问题转化为纯数学问题(2)在解决数学问题时，要注意自变量取值应有实际意义 归纳总结跟踪训练 1 某商品最近 100 天内的价格 f(t)与时间 t 的函数关系式为 f(t)t422 0t40，tN，t252 40t100，tN.销售量 g(t)与时
5、间 t 的函数关系式为 g(t)t31093(0t100)求这种商品的日销售额的最大值 跟踪训练解 设这种商品的日销售额为S.(1)当0t40(tN)时，St422t31093 112(t88)(t109)112t212223983 1124414.tN，当t10或11时，Smax808.5.(2)当40t100(tN)时，St252t3109316(t104)(t109)16(t2213t104109)S为t的二次函数，它在区间(40,100上是减函数，因此在靠近左端t41处取得最大值即当t41时，Smax714.由(1)(2)知，日销售额的最大值为808.5.【例2】医学上为研究传染病传播
6、中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表，已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%.问题探究天数t1234567病毒细胞总数y1248163264(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天)(已知：lg20.3010)【分析】(1)关键是将病毒细胞总数与天数的函数关系写出来，从所给的表中可以发现为指数函数关系，可以通过指数式与对数式的转化求得天
7、数(2)关键是求出(1)之后小白鼠的体内还剩余多少细胞病毒，可以通过建立不等式求解 【解】(1)由表中数据易知，细胞病毒个数关于时间t的函数为y2t1.由题意得2t1108，两边取对数得(t1)lg28，即t1 8lg227.6，即第一次最迟应在第27天注射该药物 (2)由题意知，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226(198%)2262%.再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为2262%2x，由题意有：2262%2x108，两边取对数得26lg2lg22xlg28，解得x6.2.故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物规律技巧 在求解一些关于指数的应用问题时，往往通过对数计算使问
8、题解决 归纳总结跟踪训练 2 某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产量达到市场要求？(已知：lg20.3010，lg30.4771)跟踪训练解 设过滤n次能达到要求，则2100113n0.1%，即23n 120，nlg23lg 120.nlg 120lg23 lg21lg3lg21.30100.17617.4.nZ，n8，即至少要过滤8次才能达到市场要求.模拟函数问题三【例3】某厂今年1月，2月，3月生产某种产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数
9、量为依据，用一个函数模拟该产品的产量与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数yabxc，(其中a，b，c为常数)，已知，4月份该产品的产量为1.37万件，问用以上哪个函数作为模拟函数较好？问题探究【分析】可用待定系数法求出a，b，c的值，确定函数后，再研究x4时，哪个函数值更接近1.37.【解】当f(x)为二次函数时，设f(x)ax2bxc(a0)，则 f11，f21.2，f31.3，即abc1，4a2bc1.2，9a3bc1.3，解得a0.05，b0.35，c0.7.f(x)0.05x20.35x0.7.f(4)0.05420.3540.71.3(万件)，当f(x)abxc时，则f11，
10、f21.2，f31.3，即abc1，ab2c1.2，ab3c1.3，解得a0.8，b0.5，c1.4.f(x)0.80.5x1.4.f(4)0.80.541.41.35(万件)经比较，用f(x)0.80.5x1.4作为模拟函数较好规律技巧 求模拟函数的问题，其方法步骤是：先把题中所给数据，在坐标系中描出散点图根据散点图设出模拟函数(可能不止一个)然后用待定系数法确定模拟函数，最后再验证比较，哪个模拟函数更接近题意 归纳总结跟踪训练 3 某公司 2010 年至 2013 年生产总值(单位：亿元)如下表所示：年 份2010201120122013x0123生产总值 8.2067 8.9442 9.
11、5933 10.2398 跟踪训练(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2014年该公司的生产总值 分析 该题要根据函数图象模拟函数来猜想函数的类型，为此要先画图象，要找函数去模拟，最后求解和验证 解(1)画出函数图象，如图所示从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的线性函数为ykxb.把直线通过的两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式，解方程组，可得k0.6777，b8.2067.y0.6777x8.2067.(2)由得到的关系式计算出该公司20
12、11年和2012年的生产总值分别为f(1)0.677718.20678.8844，f(2)0.677728.20679.5621，与实际的生产总值相比，误差不超过0.1亿元(3)估计该公司今后几年内生产总值还会按此规律增长，所以2014年，即x4时，由上述关系式，得yf(4)0.677748.206710.9175，即预测2014年该公司生产总值约为10.9175亿元.1.小明的父亲饭后出去散步，从家中走 20 分钟到一个离家900 米的报亭看 10 分钟报纸后，用 20 分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的距离与时间之间的关系的是()当堂检测 答案 D2在物价飞速上涨的今天，某商
13、品2013年零售价比2012年上涨25%，欲控制2014年比2012年只上涨10%，则2014年应比2013年降价()A15%B12%C10%D8%解析 设2014年应比2013年降价x%，则(125%)(1x%)110%，解得x12.答案 B3如图，平面图形中阴影部分面积S是h(h0，H的函数，则该函数的图象是()解析 当h取0时，阴影部分所示为整个平面图形，此时面积S最大；当h取H时，阴影部分的面积S最小，为0，由此可排除A，B；易知当h在0，H上变化时，阴影部分的面积S开始变化较快，后来变化较慢，D中图象符合 答案 D4从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液
14、，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系式为_ 解析 第一次倒完后，y19，第二次倒完后，y19192019220；第三次倒完后，y1919201920193202；第x次倒完后，y 19x20 x1201920 x.答案 y201920 x5下表为国家规定个人收入所得税税率表，其中“全月应纳税所得额”是指从纳税者的月工资、薪金收入中减去3500元后的余额.2011年9月1日起调整后的7级超额累进税率全月应纳税所得额税率不超过1500元3%超过1500元至4500元10%超过4500元至9000元20%超过9000元至35000元25%超过35000元至55000元30%超过55000元至80000元35%超过80000元45%某人月工资、薪金的收入为9000元，他应纳税_元解析 由题干可知，应纳税的所得额为900035005500.所以某人应纳税：15003%300010%100020%45300200545元 答案 545（1）读题理解题意（2）挖掘数量关系，建立数学模型（3）求解数学问题（4）回归实际，进行答题求解数学应用问题的一般步骤：课堂小结作 业 即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲。
