1、2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题1.已知集合Ax|x2k，kZ，Bx|3x3，那么AB（）A. 1，1B. 2，0C. 2，0，2D. 2，1，0，1【答案】C【解析】【分析】利用交集直接求解【详解】集合Ax|x2k，kZ，Bx|3x3，AB2，0，2故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.方程组的解集是（）A. (1，1),(1，1)B. (1，1),(1，1)C. (2，2),（2，2)D. (2，2),(2，2)【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数【详解】方程组的解为或，
2、其解集为故选：A【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为，一个解可表示为3.函数y的定义域是（）A. 0，1)B. (1，+)C. (0，1)(1,+)D. 0，1)(1,+)【答案】D【解析】【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域【详解】依题意，解得x0且x1，即函数的定义域为0，1) (1，+)，故选：D【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题4.下列四个函数中，在(0，+)上单调递减的是（）A. yx+1B. yx21C. y2xD. 【答案】D【
3、解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，yx+1，为一次函数，在 (0，+)上单调递增，不符合题意；对于B，yx21，为二次函数，在 (0，+)上单调递增，不符合题意；对于C，y2x，为指数函数，在 (0，+)上单调递增，不符合题意；对于D， ，为对数函数，在 (0，+)上单调递减，符合题意；故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题5.设alog20.4，b0.42，c20.4，则a，b，c的大小关系为（）A. abcB. acbC. bacD. bca【答案】A【解析】【分析】利用对数
4、函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0和1比较【详解】log20.4log210，a0，0.420.16，b0.16，20.4201，c1，abc，故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用6.若，则一定有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据，有，由于，两式相乘有，故选B.考点：不等式的性质.7.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：因为成立，的符号是不确定的，所以不能推出成立，反之也不行，所以是既不
5、充分也不必要条件，故选D考点：充分必要条件的判断8.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A. 2000(10.2x)mgB. 2000(10.2)xmgC. 2000(10.2x)mgD. 20000.2xmg【答案】B【解析】【分析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2000mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y2000 (120%)x20000.8x (mg)，即y与x的关系式为 y20000.8x故选：
6、B【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题9.如图，向量等于（）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量减法法则，表示出，然后根据加法法则与数乘运算得出结论【详解】，故选：B【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础本题属于基础题10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象，给出下列四种说法，图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本
7、；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解【详解】由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即对；故选：C【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题二、填空题11.已知方程x24x+10的两根为x1和x2，则x12+x22_【答案】14【解析】分析】利用韦达定理代入即可【详解】方程x24x+10的两根为x1和x2
8、，x1+x24，x1x21，x12+x22 (x1+x2)22x1x216214，故答案为：14【点睛】考查韦达定理的应用，基础题12.已知向量(1,2)，(3,m)，其中mR若，共线，则|_【答案】【解析】【分析】由向量共线的坐标表示求出m，再由模的坐标运算计算出模【详解】，共线，m60，m6，故答案为：【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题13.已知函数f(x)log3x若正数a，b满足，则f(a)f(b)_【答案】【解析】【分析】直接代入函数式计算【详解】故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础本题属于基础题14.函数的零点个数是_；满足f(
9、x0)1的x0的取值范围是_【答案】 (1). 2 (2). （1，0）（2，+）【解析】【分析】直接解方程求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解解不等式f (x0)1也同样由函数解析式去求解【详解】时，当时，共2个零点，即零点个数为2；当时，当时，即，的的取值范围是故答案为：2；【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范围即可15.已知集合Ax|x2x60，Bx|xc，其中cR集合RA_；若xR，都有xA或xB，则c的取值范围是_【答案】 (1). x|2x3 (2). （，2【解析】【分析】先求出集合A，再利用补集的定义求出RA；由对
10、xR，都有xA或xB，所以ABR，从而求出c的取值范围【详解】集合Ax|x2x60x|x2或x3，RAx|2x3；对xR，都有xA或xB，ABR，集合Ax|x2或x3，Bx|xc，c2，c的取值范围是： (，2，故答案为：x|2x3； (，2【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题16.给定函数yf(x)，设集合Ax|yf(x)，By|yf(x)若对于xA，yB，使得x+y0成立，则称函数f(x)具有性质P给出下列三个函数：；ylgx其中，具有性质P的函数的序号是_【答案】【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个
11、函数的定义域及值域，直接判断即可【详解】对，A (，0) (0，+)，B (，0) (0，+)，显然对于xA，yB，使得x+y0成立，即具有性质P；对，AR，B (0，+)，当x0时，不存在yB，使得x+y0成立，即不具有性质P；对，A (0，+)，BR，显然对于xA，yB，使得x+y0成立，即具有性质P；故答案为：【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈（）这5人中男生、女生各多少名？（）从这5人中随即抽取2人完成
12、访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率【答案】（）男生3人，女生2人；（）【解析】【分析】()利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数 ()记这5人中3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率【详解】()这5人中男生人数为，女生人数为 ()记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，则样本空间为： (B1，B2)， (B1，B3)， (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，B3)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)， (G1，G2)，样本空间中，共包含10个样本点设事件A为“
13、抽取的2人中恰有1名女生”，则A (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)，事件A共包含6个样本点 从而所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2（）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（）当曲线C1在直线y1的下方时，求x的取值范围；（）证明：曲线C1和C2没有交点【答案】（）f(2)1，理由见解析；（）(log25,3)；（）证明见解析【解析】【分析】()因为，求出f (2)
14、的值，结合函数的单调性判断f (2)和1的大小 ()因为“曲线C在直线y1的下方”等价于“f (x)1”，推出求解即可 ()求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点【详解】解： ()因为，又函数ylog3x是 (0，+)上的增函数，所以f (2)log34log331 ()因为“曲线C在直线y1的下方”等价于“f (x)1”，所以因为 函数ylog3x是 (0，+)上的增函数，所以 082x3，即 52x8，所以x的取值范围是 (log25，3) ()因为f (x)有意义当且仅当82x0，解得x3所以f (x)的定义域为D1 (，3)g (x)有意义当且仅当x30，解得x3所以g
15、(x)的定义域为D23，+)因为D1D2，所以曲线C1和C2没有交点【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示假设每名队员每次射击相互独立（）求图中a的值；（）队员甲进行2次射击用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【答案】（）0.06；（）；（）甲【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a； (II)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一
16、次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率； (III)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定【详解】(I)由题意； (II)记事件A甲中射击一次中靶环数大于7，则，甲射击2次，恰有1次中靶数大于7的概率为：； (III)甲稳定【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本数据特征，属于基础题20.已知函数,（）证明：f(x)为偶函数；（）用定义证明：f(x)是(1，+)上的减函数；（）当x4，2时，求f(x)的值域【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）【解
17、析】【分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明； (III)根据偶函数性质得函数在上的单调性，可得最大值和最小值，得值域【详解】(I)函数定义域是,是偶函数； (II)当时，设，则，即，在上是减函数； (III)由 (I) (II)知函数在上是增函数，所求值域为【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 .（）把商品的利润表示为生产量x的函数；（）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量
18、？【答案】（）；（）确定5千件时，利润最大【解析】【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量【详解】(I)设利润是 (万元)，则，； (II)时，由“对勾函数”知，当，即时，当时，是减函数，时，时，生产量为5千件时，利润最大【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式属于基础题22.设函数其中P，M是非空数集记f(P）y|yf(x)，xP，f(M)y|yf(x)，xM（）若P0，3，M(，1)，求f(P)f(M)；（）若PM，且f(x)是定义在R上增函数，求集合P，M；（）判断命题“若PMR，则f(P)f(M)R”的真假，并加以
19、证明【答案】（）0，+）；（）P（，0）（0，+），M0；（）真命题，证明见解析【解析】【分析】()求出f (P)0，3，f (M) (1，+)，由此能过求出f (P)f (M) ()由f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)0，得到当x0时，f (x)0， (，0)P 同理可证 (0，+)P 由此能求出P，M ()假设存在非空数集P，M，且PMR，但f (P)f (M)R证明0PM推导出f (x0)x0，且f (x0) (x0)x0，由此能证明命题“若PMR，则f (P)f (M)R”是真命题【详解】()因为P0，3，M(，1)，所以f(P)0，3，f(M)(1，+)，所以f(P)f (
20、M)0，+) ()因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)0，所以当x0时，f (x)0，所以(，0)P 同理可证(0，+)P因为PM，所以P(，0)(0，+)，M0 ()该命题为真命题证明如下：假设存在非空数集P，M，且PMR，但f (P)f (M)R首先证明0PM否则，若0PM，则0P，且0M，则0f (P)，且0f (M)，即0f (P)f (M)，这与f (P)f (M)R矛盾若x0PM，且x00，则x0P，且x0M，所以x0f (P)，且x0f (M)因为f (P)f (M)R，所以x0f (P)，且x0f (M)所以x0P，且x0M所以f (-x0)x0，且f (-x0)(x0)x0，根据函数的定义，必有x0x0，即x00，这与x00矛盾综上，该命题为真命题【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题