1、2020届南大奥宇高二年级第一次月考数学学科试卷温馨提示，本试卷分为卷和卷，卷45分，卷105分.请在规定的时间内将卷和卷.答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效.本场考试时间为 120 分钟，满分 150 分.祝同学们考试顺利.卷一选择题1. 已知数列，则9是它的（ ）A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据题意得出数列的第项为，然后将转化为，即可得出结果.【详解】由题意可知，数列的第项为，因为，所以是数列的第项，故选：C.【点睛】本题考查判断数是数列的哪一项，能否明确数列的通项公式是解决本题的关键，考查推理能力，体现了基础性，是简单
2、题.2. 已知数列的通项为，则满足的n的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据和，列出不等式，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，数列的通项为，因为，可得，整理得，由，解得，由，解得，取，由，解得因此满足的n的最大值为5故选：C【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式研究数列的性质及其应用，其中解答中熟练应用数列的递推公式，列出不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3. 已知两个等差数列和的前n项和分别是和，且，则等于（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意和等差数列的性质可得：，化简可得【详解】由等差数列的性质可知，故选
3、：B【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式和角标的运用，属基础题4. 已知是等差数列，且a11，a44，则a10（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据题意，设等差数列的公差为d，结合题意可得1，计算可得公差d的值，进而由等差数列的通项公式可得的值，求其倒数可得a10的值【详解】根据题意，是等差数列，设其公差为d，若a11，a44，有1，则3d，即d，则9d，故a10；故选A【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意求出的公差5. 若是与的等比中项，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设可得，应选答案C6. 已知a，b，c满足且，那么下列选
4、项中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断出的正负，然后逐项分析不等式是否成立.【详解】a，b，c满足且，可得：A，正确B，不正确C取时，不正确；D可能小于等于0，可得，不正确故选：A【点睛】本题考查利用不等关系判断不等式是否成立，难度较易.判断不等式是否成立，可以从不等式的性质、举例说明等角度去判断.7. 若，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据a的范围确定a与 的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集详解：0a1，a，而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外的解集为x|故选C点睛：（1）解
5、一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类8. 数列满足：，若数列是等比数列，则的值是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的定义，可知，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】数列为等比数列 即：上式恒成立，可知： 本题正确选项：【点睛】本题考查利用等比数列的定义
6、求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.9. 不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由不等式的解集为空集，利用判别式求解即可.【详解】不等式的解集为空集，故选：A【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题.卷二填空题（共6小题，每题5分，共30分）10. 不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】把不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，等价于不等式，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，
7、着重考查运算与求解能力，属于基础题.11. 设为等差数列的前n项的和，则的值为_.【答案】【解析】【分析】分析数列的特殊性，由此得到等差数列的公差，利用前项和的计算公式即可计算出的值.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以的通项公式是关于的一次函数类型，所以是首项为，公差为的等差数列，因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查求等差数列的前项和，主要考查学生对数列的理解，难度一般.若一个等差数列首项为，公差为，其前项和为，则也是一个等差数列且首项为，公差为.12. 已知数列对任意的满足，且，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】由题意，根据条件得，则，而，所以，由此可
8、知，从而问题可得解.13. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是_.【答案】【解析】分析：当时，求得；当时，类比写出，两式相减整理得，从而确定数列等比数列，进而求出通项公式.详解：当时，得 当时，由，得， 两式相减，得数列是以1为首项为公比等比数列通项公式故答案为.点睛：本题主要考查已知数列的前项和与关系，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：（1）当时， 求出；（2）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写14. 已知，是有限项等差数列，且，若
9、，则k的值是_.【答案】18【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出关于的方程组，求解即可得，再利用，代入求解即可.【详解】解：，是有限项等差数列，解得，解得故答案为：18【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用通项公式求参数的问题.属于较易题.15. 若对任意恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】.【解析】【分析】先把问题转化为求函数的最小值对任意恒大于等于0，求出二次函数的对称轴，分三种情况讨论，即可得出结果.【详解】解：若命题“，”恒成立，则函数的最小值对任意恒大于等于0，二次函数对称轴，当时，函数在上递减，无解；当时，函数在上递增，；当时，函数在上递减，在上递增，故，综上
10、，实数a的取值范围为：.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题，考查了分类讨论的思想.属于中档题.三解答题16. 根据下列个无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式（1）-1，1，3，5，；（2），；（3），【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）分析，可知都满足，即可得出结果；（2）分析，可知都满足，即可得出结果；（3）分析，可知都满足，即可得出结果；【详解】解：（1）分析可得：有，故；（2）分析可得：，故；（3）分析可得：，故【点睛】本题主要考查了观察法求数列的通项公式.属于较易题.17. 已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式
11、.【答案】（1）；（2）当时：不等式的解集为；当时：不等式的解集为；当时：不等式的解集为.【解析】分析：（1）时，将不等式因式分解，结合二次图像得到解集；（2）可化为 ,.分三种情况：时：时：时，分别得到解集.详解：（1）当时,可得 , ,的解集为 .（2）不等式可化为 , , 当时 有.解得： , 当时 有, 解得：. 当时 有.解得：.综上：当时：不等式的解集为. 当时：不等式解集为.当时：不等式的解集为.点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进
12、行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.18. 在数列中，数列是首项为9，公比为3的等比数列（）求，；（）求数列的前项和【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）由等比数列的通项公式得：，故，得，；（）因为，两边同除以得：，所以数列是首项、公差为的等差数列，故其前项和为试题解析：（）因为数列是首项为9，公比为3的等比数列，则，故，即得，（）由（）知，则，故数列是首项、公差为1的等差数列，故其前项和为考点：1、等比数列通项公式；2、等差数列定义；3、等差数列前项和19. 为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）根据数列
13、的递推关系，利用作差法即可求an的通项公式：（）求出bn，利用裂项法即可求数列bn的前n项和【详解】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（）（）.【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关
14、键20. 在等差数列中，其前项和为（）求的最小值（）求出时的最大值（）求【答案】(1) 取最小值(2).(3).【解析】分析：（1）求出等差数列的首项和公差，可再求出，由二次函数的性质得最小值，也可由得最小时的值，从而最小值；（2）解不等式即得；（3）由确定哪些项小于0，哪些项大于0，根据绝对值的性质分类可求和详解：（）设等差数列的首项为，公差为，解得，当或时，取最小值（），的最大值为（），由，得，数列中，前项小于，第项等于，以后各项均为正数，当时，当时，综上，点睛：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值要注意an0的情形
