1、第三章 基本初等函数()3.4 函数的应用()自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1能够运用函数(指数函数、对数函数、幂函数等)性质，解决某些简单的实际问题2能够根据实际问题构建适当的函数模型，了解和体会函数模型的广泛应用3培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.1指数函数模型的应用在实际应用中有关增长率(或减少率)、存款利率、或由物理概念建立起来的函数关系都与指数函数有关，常用到指数函数的概念和性质求解指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类：(1)平均增长率问题：若原来产值的基数为 N，平均增长率为 P，则对于时间 x 的总产值或总产量 y_；(2)
2、储蓄中的复利问题：若本金为 a 元，每期利率为 r，本利和为 y，存期为 x，则 y_.N(1P)xa(1r)x2对数函数模型的应用(1)由于同底的指数函数与对数函数互为反函数，在指数式与对数式的计算中可以相互转化，因而指数函数、对数函数联系紧密，不可分割(2)对数函数的一般形式是 ylogax(a0，且 a1，x0)解答对数函数模型的应用题关键在于：透彻地理解题意，灵活地运用对数以及对数有关知识解决问题3幂函数模型的应用幂函数 yx，当 1,2，1 等值时，就是我们常说的正比例、二次、反比例等常见函数在实际应用中，它们或由它们构成的复合函数经常遇到解这类题目的关键是通过转化、换元等方法将问题
3、转化为单一的幂函数求解4函数模型的检验(1)用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，这就需要我们对函数模型不断修正，使它更接近实际状况(2)函数模型检验的步骤第一步：收集数据第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型第四步：选择其中的几组数据求出函数模型第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看看是否符合实际若不符合实际，则重复第三、四步；若符合实际，则进入下一步第六步：用求得的函数模型去解释实际问题以上过程可用程序框图表示为(如下图所示)：1某校开展研究性学习，一组同学获得了
4、下面的一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的是()Ay2x2 By12xCylog2xDy12(x21)解析：根据题中数据所知 D 基本符合要求，故选 D答案：D2下列函数中，随着 x 的增长，y 值增长速度最快的是()Ay50 By1 000 xCy0.42x1Dy11 000ex解析：指数函数 yax 在 a1 时呈爆炸式增长，而且 a 越大，增长的速度越快，故选 D答案：D典例精析 规律总结课堂互动探究1指数函数模型类型 某城市现有人口数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%
5、，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式；(2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万人(精确到 1 年，(11.2%)101.127，(11.2%)151.196，(11.2%)161.21)【分析】本题是增长率问题，可用逻辑(归纳)分析法写函数关系式，再求解几个实际问题【解】(1)1 年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)；2 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；3 年后该城市人口总数为
6、 y100(11.2%)3；x 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)x.(2)10 年后该城市人口总数为 y 100(11.2%)101001.01210112.7(万人)(3)令 y120，则有 100(11.2%)x120，解方程可得x16.即大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万人【知识点拨】本例是一个有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值 y 可以用下面的公式，即 yN(1p)x，解决平均增长率的问题，常用这个函数式 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的
7、利息现有一种储蓄按复利计算利息，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，则 y 随着 x 变化的函数式为_解析：由题可得存期为 1 时，ya(1r)，存期为 2 时，ya(1r)2，所以存期为 x 时，ya(1r)x.答案：ya(1r)x2对数函数模型类型 日本 1923 年地震是 8.9 级，旧金山 1906 年地震是8.3 级，1989 年地震是 7.1 级试计算一下日本 1923 年地震强度是8.3级地震强度的几倍？是7.1级地震强度的几倍？(地震级数是地震强度的常用对数，取 lg 20.3)【分析】已知对数值，要探讨真数之间的关系，可灵活运用对数式之间的关系，利用对
8、数的运算法则及方程的思想求解【解】设 8.9 级，8.3 级，7.1 级地震强度分别为 x，y，z，由题意可得 lg x8.9，lg y8.3，lg z7.1，则 lg xlg y8.98.30.62lg 2lg 4，从而 lg xlg 4lg ylg(4y)，所以 x4y，lg xlg z8.97.11.86lg 2lg 26lg 64，从而 lg xlg zlg 64lg(64z)，所以 x64z.故 8.9 级地震强度是 8.3 级地震强度的 4 倍，是 7.1 级地震强度的 64 倍【知识点拨】对数运算在社会经济实践中、科学技术的研究中有着广泛应用，熟练掌握对数的定义、性质、运算法则等
9、是处理这类问题的关键 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 15 万元时，按销售利润的 10%进行奖励；当销售利润超过 15 万元时，若超过部分为 A 万元，则超出部分按 2log5(A1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的 10%进行奖励记奖金总额为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单位：万元)(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)y10%x，x15，1510%2log5x151，x15，即 y0.1x，x15，1.52log5x14，x15.(2)1.52log5(x14
10、)5.5，x39，所以他的销售利润是 39 万元.3幂函数模型类型 某小商品 2016 年的价格为 15 元/件，销售量为 a 件，现经销商计划在 2017 年该商品的价格降至 10 元/件到 14 元/件之间，经调查，顾客的期望价格为 7 元/件，经市场调查，该商品的价格下降后增加的销售量与定价和顾客期望价格的差成反比，比例系数为 k，该商品的成本价为 5 元/件(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益 y 与定价 x 的函数关系式；(2)设 k3a，当定价为多少时，经销商 2017 年的收益恰是2016 年收益的 1.2 倍？【解】(1)由题可得：年收益 ya kx7(x5)，10 x1
11、4.(2)当 k3a 时，ya 3ax7(x5)1.210a，即1 3x7(x5)12，x221x1040，x8 或 x13.x10,14，x13，故当定价为 13 元时，经销商 2017 年的收益恰是 2016 年收益的 1.2 倍 现有 A，B 两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是 P 和 Q(万元)，它们与投入资金 x(万元)的关系依次是：其中 P 与 x 的平方根成正比，且当 x 为 4(万元)时 P 为1(万元)，又 Q 与 x 成正比，当 x 为 4(万元)时 Q 也是 1(万元)；某人甲有 3 万元资金投资(1)分别求出 P，Q 与 x 的函数关系式；(2)请帮甲设计一个合理
12、的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？解：(1)设 P，Q 与 x 的比例系数分别是 k1，k2，Pk1 x，Qk2x 且都过(4,1)，所以 P x2(x0)，Qx4(x0)(2)设甲投资到 A，B 两项目的资金分别为 x(万元)，(3x)(万元)(0 x3)，获得利润为 y 万元由题意知 y x2 3x4 14(x1)21，所以当 x1，即 x1 时，ymax1，所以甲在 A，B 两项上分别投入为 1 万元和 2 万元，此时利润最大，最大利润为 1 万元即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 对数函数模型1某种动物的数量 y(单位：只)与时间 x(单位：年)的函数关系式为 yal
13、og2(x1)，若这种动物第 1 年有 100 只，则第 7年它们的数量为()A300 只B400 只C500 只D600 只解析：由题意，100alog22，a100，当 x7 时，y100log2(71)1003300.故选 A答案：A知识点二 散点图2某研究小组在一项实验中获得一组关于 y，t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画 y与 t 之间关系的是()Ay2tBy2t2Cyt3Dylog2t解析：从题设中的散点图知该函数的图象可能是 ylog2t.答案：D知识点三 函数的综合应用3某地区植被破坏，土地沙化越来越重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为 19
14、8.5 公顷、399.6 公顷和 793.7 公顷，则沙漠增加面积 y(公顷)关于年数 x 的函数关系较为近似的是()Ay200 xBy100 x2100 xCy1002xDy0.2xlog2x解析：由题可知，f(1)198.5，f(2)399.6，f(3)793.7，由增长速度可知 y1002x 较为近似，故选 C答案：C4某市的房价(均价)经过 6 年时间从 1 200 元/m2 增加到了4 800 元/m2，则这 6 年间平均每年的增长率是()A600 元B50%C3 21 D3 21解析：设平均每年的增长率为 x，则 1 200(1x)64 800，(1x)64,1x3 2，x3 21，故选 C答案：C5以下是三个函数 y1，y2，y3 随 x 变化的函数值列表：x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.585 022.321 92.585 02.807 43其中，关于 x 有可能成对数型函数变化的函数是_解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长趋势，可判断 y3 增长的比较平缓，符合对数型函数的增长情况答案：y3word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块
