1、第二章检测(B)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 设函数 f(x)=则 f(f(3)等于()A.B.3C.D.解析因为 31,所以 f(3)=.又因为 1,所以 f()()+1=.所以 f(f(3)=f(),故选 D.答案 D2 已知函数 f(x)=,且 f(1)=-1,则 f(x)的定义域是()A.(0,2)B.(-,0)(0,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-,0)(0,2)(2,+)解析由 f(1)=-1 可得 =-1,解得 m=-2,故 f(x)=-.令 x2
2、-2x0 得 x0,且 x2,即 f(x)的定义域为(-,0)(0,2)(2,+).答案 D3 若函数 f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数,且当 x(0,+)时,函数 y=f(x)为增函数,则实数 a 的值为()A.1B.-1C.1D.0解析函数 f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a 为偶函数,f(-x)=f(x),即 f(-x)=ax2-(1-a2)x-a=ax2+(1-a2)x-a.1-a2=0,解得 a=1.当 a=1 时,f(x)=x2-1,在(0,+)内为增函数,满足条件.当 a=-1 时,f(x)=-x2+1,在(0,+)内为减函数,不满足条件.故 a
3、=1.答案 C4 函数 f(x)对于任意 xR,都有 f(x+1)=2f(x),当 0 x1 时,f(x)=x(1-x),则 f(-1.5)的值是()A.B.C.D.-解析 2f(-1.5)=f(-1.5+1)=f(-0.5),2f(-0.5)=f(0.5).又 f(0.5)=0.5(1-0.5)=,f(-1.5)=f(0.5)=.答案 A5 设 f(x)是奇函数且在(0,+)内为减函数,f(2)=0,则满足不等式 -0 的 x 的取值范围是()A.(-,-2)(0,2)B.(-2,0)(2,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-2,0)(0,2)解析因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=
4、-f(x),所以-0,即 xf(x)0.f(x)的函数图象示意图如图所示,故 xf(x)0 时,x 的取值范围是(-2,0)(0,2).答案 D6 已知函数 f(x)=,若 f(1)=,f(2)=1,则函数 f(x)的值域是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,2)(2,+)D.(-,-2)(-2,+)解析由 f(1)=,f(2)=1 可得 解得 -即 f(x)=-.故 f(x)=-=2-.当 x-1 时,0,即 2-2.故函数 f(x)的值域是(-,2)(2,+).答案 C7 若 abc,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于
5、区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内解析由题意 ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0.显然f(a)f(b)0,f(b)f(c)x11 时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac解析根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在(1,+)上是减函数.由 a=f(-)=f(),故 bac.答案 D10 设 f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=则 f(x)的最值是()A.最大值为 3,最小值为-1B.最大值为 7-2,无最小值C.最大值为 3,无最
6、小值D.既无最大值,也无最小值解析在同一坐标系下分别画出 f(x),g(x)的图象,依题意知 F(x)的图象是如图中的实线部分.从而 F(x)无最小值,在 A 点处取最大值.由 -解得 A(2-,7-2),故 F(x)的最大值为 7-2.答案 B二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 若 f(x)=-f(a)=15,则 a=.解析若当 a0 时,有 f(a)=a2-1=15,解得 a=-4(a=4 舍去);若当 a0 时,有 f(a)=-3a=15,解得 a=-5 舍去.综上可知,a=-4.答案-412 用二分法求方程 x3+4=6x2的一个
7、近似解时,已经将一个根锁定在区间(0,1)内,则下一步可断定此根所在的区间为 .解析设 f(x)=x3-6x2+4,显然 f(0)0,f(1)0,所以下一步可断定方程的根所在的区间为().答案()13 已知函数 f(x)=x2-6x+8,x1,a的最小值为 f(a),则实数 a 的取值范围是 .解析函数 f(x)=x2-6x+8 在(-,3上是减函数,3,+)上是增函数.f(x)=x2-6x+8 在1,a上最小值为 f(a),1,a(-,3,1a3.答案(1,314 在如图所示的锐角三角形空地上,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为 m.解析如图所示,设 DE=x m,
8、MN=y m,由三角形相似得,-,即 -,得 x+y=40,即 y=40-x(0 xf(3a),则实数 a 的取值范围是 .解析画出函数 f(x)的图象如图所示,由图象可知 f(x)在 R 上是增函数,由 f(4-5a)f(3a)可得 4-5a3a,解得 a0,解得 a0.(1)求 f(1)的值;(2)若 f(x+6)2,求 x 的取值范围.解(1)在 f(x1x2)=f(x1)+f(x2)中,令 x1=1,得 f(x2)=f(1)+f(x2),故 f(1)=0.(2)在 f(x1x2)=f(x1)+f(x2)中,令 x1=x2=4,得 f(16)=f(4)+f(4)=2.因为当 x1x2时,
9、-0,所以 f(x)在(0,+)内是增函数.又因为 f(x+6)2,所以 f(x+6)f(16),即 x+616,解得 x10.故 x 的取值范围是(10,+).18(9 分)已知函数 f(x)=x|x-a|(aR).(1)当 a=2 时,在给定的平面直角坐标系中作出 f(x)的图象,并写出 f(x)的单调区间;(2)当 a=-2 时,求函数 y=f(x)在区间(-1,2上的值域.解(1)当 a=2 时,f(x)=x|x-2|=-函数 f(x)的图象如图所示,由图象可知,f(x)的单调递增区间是(-,1和2,+),单调递减区间是1,2.(2)当 a=-2 时,f(x)=x|x+2|=-画出 f
10、(x)的图象如图所示,由图象可知 f(x)在(-,-2和-1,+)上是单调递增的,在-2,-1上是单调递减的.而当 x(-1,2时,f(x)在(-1,-2和-1,2上是单调递增的,在-2,-1上是单调递减的,故当 x=-1 时,f(x)取最小值 f(-1)=-1;当 x=2 时,f(x)取最大值 f(2)=8,故函数 f(x)的值域为-1,8.19(10 分)设 f(x)是(-,+)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0 x1 时,f(x)=x.(1)求 f()的值;(2)当-4x4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积.解(1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=
11、f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),故 f()=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得 f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即 f(1+x)=f(1-x).故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.又当 0 x1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点对称,则当-1x0 时 f(x)=x,则 f(x)的图象如图所示.当-4x4 时,设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4SOAB=4()=4.20(10 分)某学校高一年级某班共有学生 51 人,据统计原来每人每年用于购买饮
12、料的平均支出是 a元.若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用 228 元,其中,纯净水的销售价 x(单位:元/桶)与年购买总量y(单位:桶)之间满足如图所示的关系.(1)求 y 关于 x 的函数关系式.(2)当 a=120 时,若该班每年需要纯净水 380 桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一种更少?说明你的理由.(3)当 a 至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用?解(1)设 y=kx+b
13、(k0).当 x=8 时,y=400;当 x=10 时,y=320,解得 -y 关于 x 的函数关系式为 y=-40 x+720(x0).(2)该班学生买饮料每年总费用为 51120=6 120(元),当 y=380 时,380=-40 x+720,得 x=8.5,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 3808.5+228=3 458(元),故饮用桶装纯净水的年总费用少.(3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元,则P=xy=x(-40 x+720)=-40(x-9)2+3 240,故当 x=9 时,Pmax=3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用,则 51aPmax+228,解得 a68,故 a 至少为 68 时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用.
