1、正弦定理余弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为三角形的外接圆半径）CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222ABCacb举例应用问题1.A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量这两点之间的距离。（备用工具：皮尺、测角仪）测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC51o，ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m).分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,根据正弦定理,可以
2、计算出边AB.ABC你能根据所学知识设计一种测量方案吗?解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离约为65.7米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABC例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ABCCDABCD解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,AC
3、D=,CDB=,BDA=.sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离222cosABACBCACBC在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA 两点的距离，求，千米，定的距离，在河的这边测两点间、如图，为了测量河对岸课堂练习：ABCD30453060分析：1.在ABD中求AB2.在ABC中求AB46AB 练习 1、分析题意，弄清已知和所求；2、根据题意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；4、正
4、确运用正、余弦定理解三角形。5、检验并作答。小结：求解三角形应用题的一般步骤：练习:教材14 1,2 思考如何测量地球与月亮之间的距离?AB背景资料早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出,的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.解决有关三角形应用性问题的思路、步骤和方法实际问题抽象概括画示意图建立数学模型推理 演算数学模型的解实际问题的解检验作答还原说明课堂小结：通过本节课，你有什么收获？练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油
5、泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度 （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？在ABC中已知什么，要求什么？CAB练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）最大角度最大角度最大角度最大角度 已知ABC中AB1.95m，AC1.40m，夹角CAB6620，求BC解：由余弦定
6、理，得答：顶杆BC约长1.89m。CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 有关测量术语:a.仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线的下方的时叫俯角.b.方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东300,南偏西450.c.方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目标方向线的角.d.坡度是坡面与水平面所成的角的度数.问题二：测量高度问题（1）：底部不可以到达3,.ABBAAB例、是底部 不可到达的一个建筑物为建
7、筑物的最高点设计一种测量建筑物高度的方法,HGH G B解：选择一条水平基线使三点在同一条直线上。,H GCDa由在两点用测角仪测得A的仰角分别是，测角仪器的高是h.sinACDAC,sin()a在中，=AB=AE+h =ACsin+hsinsin =.sin()ah问题二：测量高度问题（2）：底部可以到达).1(,3.27.150,4054,400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶、如图例00C,90,.ABCBAD解：在 AB 中，BCA=90+-,BAC=0sin()cos.sin()sin()BCBC90+根据正弦
8、定理，AB=Rtcossin.sin()BC解ABD,得BD=ABsin BADcossin.sin()BCBCCD=BD-BC=150).m把测量数据代人，CD（150.答：山的高度约为米例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5 一辆汽车在一条
9、水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.解：在ABC中，A=15,C=25-15=10.根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524.710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为1047米。000,7567.5,3254.0.,(0.1,0.01).AnmileBBnmileCACnmile例6、如图 一艘海轮从 出发 沿北偏东的方向航行后到达海岛然后从 出发 沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航
10、行直接从 出发到达此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到距离精确到问题三：测量角度问题220 ACABBC2AB BC cos =67.5542 67.5 54 cos137 =113.15ABC 22根据余弦定理可知：=BC sinACCABABC根据正弦定理可知：sin0sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC00019 7556CABCAB答：此船应该沿北偏东560的方向航行，需要航行113.15 n mile.0000 ABC ABC=1807532137解：在 中，3.3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端
11、沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。63.77四、面积公式推导ch,abcABCBC CA ABh h h在中，边上的高分别记为sinsin,sinsin,sinsin.abchbCcBhcAaChaBbA可得：CBAD12Sah根据三角形的面积公式，111sin,sin,sin.222SabCSbcASacB7 ABC S0.12例在 中，根据下列条件，求三角形的面积(精确到cm)0(1)已知 a=14.8cm ,c=23.5cm,B=148.501 1 Ssin21 S23.5 14.5 sin148.590.92caB2解：（）应用=可得=（cm）应用四：有关三角形计算bbsinC
12、 c=sinBsinsinBcC（2）根据正弦定理，1S 221sinsinsin2sinCAbcAbB=222221sin65.8 sin51.5S3.164.0()2sin62.7cm00222A=180()180(62.765.8)51.5BC0,C=65.8,3.16 bcm0(2)已知 B=62.77 ABC S0.12例在 中，根据下列条件，求三角形的面积(精确到cm)22223 238.741.427.3 =0.76972 38.7 41.4abca22（）根据余弦定理可得：ccosB=22sin1cos10.76970.6384BB211Ssin38.7 41.4 0.6384
13、511.4()22caBcm应用(3)41.4 ,27.3,38.7acmbcm ccm 已知三边的长分别为 例8:如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）应用四：有关三角形计算解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理可得：2222221276888cos0.753222 12768cabBac2sin10.75320.6578B 211sin127680.65782840.4()22SacBm答：这个区域的面积是2840.4m2应用五：三角形恒等式证明22222 ABCsinsin 1 si9n2在三角形中，求证：a（）例：bABcC 1 (0)k kabC证明：（）根据正弦定理可得：sinAsinBsinC222222222222sinsin=sinsinsin.sin左边右边abkAkBckCABC2222222222222222222222=2bcca+ab)222 ()(bcacababcbccaabbcacababcabc（）根据余弦定理的推论：右边（)+()=左边222ABC (2)a+b+c2(coscoscos)9例在三角形中，求证：bcAcaBabC应用五：三角形恒等式证明
