1、定积分的计算【例1】求下列定积分.思路探究：(1)可用定积分的几何意义求解；(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解解(1)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积其面积为222，dx2.(2)求定积分的三种方法1利用定义求定积分步骤：(1)分割区间；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限2利用定积分的几何意义求定积分3利用微积分基本定理求定积分如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即F(x)f(x)，则有F(b)F(a)1计算下列定积分(1)dx；(2)(cos x2x)dx.解(1)dxdxln xln(x1)ln .(2)(cos x2x)dx2(22).用定积分求平面图
2、形的面积【例2】求由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成的平面图形的面积思路探究： 解画出草图，如图所示所求平面图形为图中阴影部分解方程组得交点A(1,5)，B(4,20)故所求平面图形的面积S(x245x)dx(5xx24)dx44243444.定积分在求平面图形面积中的应用及注意由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解2求由曲线y及直线yx，y3所围成的平面图形的面积解画出曲线y(在第一象限)，直线yx，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积画得故A；由得或(舍去)，故B；由得故C.用定积分求几何体的体
3、积【例3】求曲线ysin x，x0，与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积解由体积公式Vy2dx(sin x)2dxsin2xdxdx(0).利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等计算由曲线yf(x)，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V3半椭圆1(y0)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为()ABC5 D6AV2dx2.数形结合思想的应用【例4】如图所示，在区间0,1上给定曲线yx2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小思路探究：确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值解S1
4、的面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴，直线xt围成的面积即S1tt2x2dxt3；S2的面积等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t2,1t，即S2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1)令S(t)4t22t4t0，得t0或t，易知当t时，S最小，所以最小值为S.数形结合在求定积分中的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限4如图，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴交点的横坐标分别为x10，x21，所以抛物线与x轴所围成图形的面积为S(xx2)dx.抛物线yxx2与直线ykx交点的横坐标分别为x10，x21k，所以(xx2kx)dx(1k)3，又知S，所以(1k)3，于是k11.
