1、高三总复习人教A 版 数学（理）第二节一元二次不等式及其解法高三总复习人教A 版 数学（理）1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.高三总复习人教A 版 数学（理）1一元二次不等式的解法在二次函数yax2bxc(a0)中，令y0，得到一元二次方程ax2bxc0(a0)若将符号“”改为不等号“”或“0(或0)b24acax2bxc0(a0)ax2bxc0(a0)ax2bxc0)0 xx1，xx2xx2x1xx20 xx0 b2axx0 xR无解图象与解0(a0
2、)的求解的算法过程：高三总复习人教A 版 数学（理）1不等式组x210 x23x0 的解集为()Ax|1x1 Bx|0 x3Cx|0 x1 Dx|1x3解析：x210 x23x0 1x10 x30 x0的解集为x|12 xa2a30，则使得(1aix)20(i1,2,3)，(1aix)2111aix10aix20 xa2a300 2a1 2a2 2a3，0 x 2a1.故选B.答案：B高三总复习人教A 版 数学（理）4 设 集 合 A x|(x 1)23x 7，xR，则 集 合 AZ 中 有_个元素解析：由(x1)23x7得1x6，集合Ax|1x6，AZ的元素有0,1,2,3,4,5共6个元素
3、答案：6高三总复习人教A 版 数学（理）5a0时，不等式x22ax3a20的解集是_解析：x22ax3a20，x13a，x2a.又a0，不等式的解集为x|3axa答案：x|3axa高三总复习人教A 版 数学（理）热点之一 一元二次不等式及其解法1通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系2解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再求出对应的一元二次方程的根，然后结合相应的二次函数的图象写出不等式的解集，对于分式不等式要等价转化为整式不等式再求解高三总复习人教A 版 数学（理）例1 函数f(x)1xln(x23x2 x23x4)的定义域为()A(，42，)B(4
4、,0)(0,1)C4,0)(0,1 D4,0)(0,1)思路探究 求函数的定义域，其本质就是解由使函数有意义的条件组成的不等式(组)高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录 要使函数有意义，应满足x0，x23x20，x23x40，x23x2 x23x40，即x0，x23x20，x23x40，x23x2 x23x40，高三总复习人教A 版 数学（理）解得x0，x2或x1，4x1，x1，即4x0或0 x1的解集是_解析：原不等式可化为x1x210，即 3x20，所以3(x2)0，解得x2，故填x|x2答案：x|x2高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 解含参数的一元二次不等式解含字母参数的不等
5、式要分类讨论求解，当二次项系数中含有字母时要分二次项系数大于0、等于0、小于0进行讨论，二次项系数的正、负对不等号的方向和不等式的解集均有影响.其次，对相应的方程根的大小进行讨论.最后结合相应的二次函数的图象求得不等式的解集.高三总复习人教A 版 数学（理）例2 解关于x的不等式ax2(2a1)x20.思路探究 这个不等式的左端可以分解为两个因式的乘积，即(ax1)(x2)，这样就可以根据字母a和0的三种关系进行分类解决高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录 原不等式可化为(ax1)(x2)0时，原不等式可以化为a(x2)(x 1a)0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x2)(x1a)0
6、，方程(x2)(x 1a)0的两个根是2，1a.当0a 12 时，2 1a，不等式的解集是x|2x12时，1a2，不等式的解集是x|1ax2；高三总复习人教A 版 数学（理）(2)当a0时，原不等式即为(x2)2，不等式的解集为x|x2；(3)当a0时，不等式可以化为a(x2)(x 1a)0，由于1a2，故此时不等式的解集是x|x2高三总复习人教A 版 数学（理）综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x2；当a0时，不等式的解集为x|x2；当0a12时，不等式的解集为x|2x12时，不等式的解集为x|1ax2高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练已知关于 x 的不等式ax1x1 0 的解集是
7、(，1)(12，)，则 a_.解析：ax1x10(ax1)(x1)0，又其解集为(，1)(12，)，可知a0，故(ax1)(x1)0，结合原不等式的解集，有1a12a2.故填2.答案：2高三总复习人教A 版 数学（理）热点之三 一元二次不等式与一元二次方程的根的关系不等式ax2bxc0，ax2bxc0，即(m2)24(m1)0，所以m20，所以m1且m0.高三总复习人教A 版 数学（理）(2)由韦达定理可得：x1x2m21mx1x211m，所以1x11x2m2，所以 1x12 1x22(m2)22(m1)2，所以m22m0，所以0m2.又由(1)知m1且m0，所以m的范围为0m1或1m2.高三
8、总复习人教A 版 数学（理）思维拓展 抛物线实质是一元二次函数的图象，所以由一元二次函数图象的性质特点来分析即可关于方程的根的情况由韦达定理转化为不等式求解高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练(2010山东淄博模拟)若关于x的不等式ax26xa20的解集为(，m)(1，)，则m等于_解析：由已知可得a0且1和m是方程ax26xa20的两根，于是a6a20，解得a3，代入ax26xa20得3x26x90，所以方程的另一根为3，即m3.答案：3高三总复习人教A 版 数学（理）热点之四 一元二次不等式的恒成立问题1解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁
9、的范围，谁就是参数2对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方高三总复习人教A 版 数学（理）例4 已知不等式mx22xm20.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围思路探究(1)讨论m是否为零，可结合二次函数的图象求解；(2)看作关于m的一次函数，利用其单调性求解高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)对所有实数x，都有不等式mx22xm20恒成立，即函数f(x)mx22xm2的图象全部在x轴下方当m0
10、时，2x20，显然对任意x不能恒成立；当m0时，由二次函数的图象可知有m044mm20，解得m0知g(m)在2,2上为增函数，则由题意只需g(2)0即可，即2x222x20，解得0 x0对xR恒成立问题，应结合对应二次函数的图象，可等价于a00.(2)对于含参数的不等式恒成立问题，若参数的次数是一次且易于分离时，可以变换主元，借助于一次函数的单调性求解高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 设f(x)x22mx2，当x1，)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解析：设F(x)x22mx2m，则当x1，)时，F(x)0恒成立当4(m1)(m2)0，即2m0显然成立；当0时，右图，F(x)0
11、恒成立的充要条件为：高三总复习人教A 版 数学（理）0，F10，2m21，解得3m2.F(x)0.综上可得实数m的取值范围为3,1)高三总复习人教A 版 数学（理）从近几年的高考试题看，高考中常常以小题的形式考查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函数零点的分布以小题形式考查相应一元二次方程中未知参数的取值范围，或以解答题形式单独考查含参数的一元二次不等式的解法，也可能与函数相结合考查参数的取值范围等高三总复习人教A 版 数学（理）例5(2010天津高考)设函数f(x)x21，对任意x32，),f(xm)4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取
12、值范围是_高三总复习人教A 版 数学（理）解析 f(xm)4m2f(x)f(x1)4f(m)变为 x2m214m2(x21)(x1)214(m21)，x2m2 14m2x24m2x22x114m24，x2m24m2x2x22x3，1m24m2x22x3x212x3x23(1x13)243，x32，1x0，23，当1x23时，上式有最小值53.高三总复习人教A 版 数学（理）1m24m253，即12m45m230，m234或m213(舍)，m 32 或m 32.答案，32 32，高三总复习人教A 版 数学（理）(2010江苏高考)已知函数f(x)x21，x01，xf(2x)的x的取值范围是_解析：本题考查不等式的解法f(1x2)f(2x)等价于1x22x，2x0或1x20，2x0，解得x(1，21)答案：(1，21)高三总复习人教A 版 数学（理）
