1、3.1.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式 本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研究形如f(x)asinxbcosx的性质注意辅助角的求取要点和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.1.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等 2能利用辅助角公式研究形如f(x)asin xbcos x的性质 cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscos
2、sintantan:tan()1tantanTtantan:tan()1tantanTsin()sincoscossin运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值如果题目中存在互余角，要善于发现和利用例如，化简：sin43x cos33x cos63x sin43x.解 原式sin43x cos33x sin33x cos43xsin43x 33xsin43sin 4cos 3cos 4sin 3 22 12 22 32 2 64.例 1 化简求值：(1)sin(x27)cos(18x)sin(63x)s
3、in(x18)；(2)(tan 10 3)cos 10sin 50.解(1)原式sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(x18)sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(18x)sin(x27)(18x)sin 45 22.(2)(tan 10 3)cos 10sin 50(tan 10tan 60)cos 10sin 50sin 10cos 10sin 60cos 60cos 10sin 50sin50cos 10cos 60cos 10sin 501cos 602.小结 解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的
4、结构选择公式例 1 化简求值：(1)sin(x27)cos(18x)sin(63x)sin(x18)；(2)(tan 10 3)cos 10sin 50.练习 1(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)；解(1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 3012.(2)原式sin(54x)(36x)sin 901.例 2 已知 sin(2)3sin，求证：tan()2tan.证明 sin(2)3sin sin()3
5、sin()sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin 2sin()cos 4cos()sin tan()2tan.小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异练习 2 证明：sin2sin 2cos()sin sin.证明 sin2sin 2cos()sin22sin cossin sin2sin cossin sincos cossin 2sin cossin sincos cossin sin sinsin sin sin.所以原等式成立探究:（1）求31sin15cos15
6、22的值（2）求31sincos22yxx的值域（3）求3sincosyxx的值域（4）求3sin4cosyxx的值域（5）求sincosyaxbx的值域 练习：sincosyxx求的值域22222222222222sincos(sincos)(sincoscos sin)sin()(sincos)yaxbxabyabxxabababxxabxbaabab化简，得其中，辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)使 asin xbcos x a2b2sin(x)成立时，cos aa2b2，sin ba2b2，其中 称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定辅助角公式在研究三角
7、函数的性质中有着重要的应用问题 1 将下列各式化成 Asin(x)的形式，其中 A0，0，|0，0，|2.例 3 化简下列各式：(1)3 15sin x3 5cos x；(2)24 sin4x 64 cos4x.解(1)3 15sin x3 5cos x6 532 sin x12cos x6 5cos6sin xsin6cos x6 5sinx6.(2)24 sin4x 64 cos4x 22 12sin4x 32 cos4x 22 sin4x cos3cos4x sin3 22 sin712x.小结 辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)可以把含sin x、cos x 的
8、一次式化为 Asin(x)的形式，其中 所在象限由点(a，b)决定，大小由 tan ba确定研究形如 f(x)asin xbcos x 的性质都要用到该公式例 3 化简下列各式：(2)24 sin4x 64 cos4x.练习 3 已知函数 f(x)3cos 2xsin 2x，xR.(1)求 f(x)的最小正周期与值域；(2)求 f(x)的单调递增区间解(1)f(x)sin 2x 3cos 2x212sin 2x 32 cos 2x2sin 2xcos3cos 2xsin32sin2x3，xR.T22，函数的值域为2,2(2)由 2k22x32k32，kZ，得 k512xk1112，kZ.函数的
9、单调递增区间为k512，k1112(kZ).1 sin 69cos 99cos 69sin 99的值为()A.12B12C.32D 32解析 原式sin(6999)sin(30)12.B2 在ABC 中，A4，cos B 1010，则 sin C 等于()A.2 55B2 55C.55D 55解析 sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B 22(cos B 1cos2B)22 1010 3 10102 55.A3函数 f(x)sin x 3cos x(xR)的值域是解析 f(x)212sin x 32 cos x 2sinx3.f(x)2,22,24 已知
10、锐角、满足 sin 2 55，cos 1010，则.解析，为锐角，sin 2 55，cos 1010，cos 55，sin 3 1010.cos()cos cos sin sin 55 1010 2 55 3 1010 22.0，34.342运用辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)时不必死记结论，重在理解运用两角和与差正、余弦公式进行转化化归的思想.1要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式，注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式 13cossin,22f(x)xxf(x)f(x)已知函数=（1）求的最小正周期及最大值；（2）求的单调递增区间。解：（1）由已知(2)()cos,2,342,2;3334,233xf xzkkkkkxkkk、令z=,由的单调递增区间为2 由2x+解得2因此，f(x)的单调递增区间为2.cossinsin33xxf(x)=coscos(),3x()2;f xT则的最小正周期为最大值为1.敬请指导.
