1、1定积分的概念11定积分的背景面积和路程问题12定积分1定积分的定义一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1xnb，记xi为第i个小区间xi1，xi的长度，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任取一点i，Sf
2、(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn的值也趋于该常数A，我们称A是函数yf(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxA.其中叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数注意(1)定积分f(x)dx是一个常数(2)函数f(x)在区间a，b上是连续的2定积分的几何意义(1)若f(x)0，则f(x)dx0，此时f(x)dx表示由曲线yf(x)，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即f(x)dxA，如图(1)所示(2)若f(x)0，则f(x)dx0，此时f(x)dx表示由曲线yf(x)，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形的面积A的相反数
3、，即f(x)dxA，如图(2)所示(3)对于一般情形，f(x)dx的几何意义是在区间a，b上，曲线与x轴所围图形面积的代数和一般地，位于x轴上方图形的面积取正值，位于x轴下方图形的面积取负值，如图(3)所示，f(x)dxS1S2S3.注意(1)定积分f(x)dx(不含参数)是特定和式无限趋近的一个常数，它是一确定的数值，所以0.(2) f(x)dx不一定表示面积，也可能表示面积的相反数(3)定积分可以是面积，体积，功，路程，还可以是压力等，总之定积分还有很多的实际意义3定积分的性质(1) 1dxba；(2) kf(x)dxkf(x)dx；(3) f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；(
4、4) f(x)dxf(x)dxf(x)dx 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程()(2)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值()(3)利用求和符号计算(i1)40.()答案：(1)(2)(3) 一物体沿直线运动，其速度v(t)2t，这个物体在t0到t1这段时间所走的路程为()ABC1 D2解析：选C.所走的路程为2tdt，由定积分的几何意义，得2tdt121. 下列式子中不成立的是()A. sin xdxcos xdxB. sin xdxcos xdxC. sin xdxcos xdxD. |sin x|dx|cos x|d
5、x解析：选C.分别作出被积函数f(x)sin x和g(x)cos x 在各区间上的图像，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立 若f(x)dx3，g(x)dx2，则f(x)g(x)dx_解析：由定积分的性质易得f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx325.答案：51对定积分概念与几何意义的两点说明(1)定积分的概念是对“分割、近似代替、求和、取极限”这四个步骤的高度概括，其中包含着重要的数学思想方法“以直代曲”，只有理解了定积分的定义过程，才能掌握定积分的计算与应用(2)定积分f(x)dx是一个常数实数，一般情况下，被积函数yf(x)的图像可以在x轴的上方，也可以在x轴的下方，在积分区
6、间a，b上，只有yf(x)0(图像不在x轴的下方)时，f(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间a，b上，当yf(x)0(图像在x轴的下方时)，f(x)dx0，f(x)dx等于曲边梯形的面积，这是对定积分的几何意义的全面理解注意求曲边梯形yf(x)，xa，b的面积与求f(x)dx的区别与联系2求定积分时常用的策略(1)分段函数求定积分：分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加(2)奇、偶函数在区间a，b上的定积分：若奇函数yf(x)的图像在a，a上连续，则0；若偶函数yg(x)的图像在a，a上连续，则2g(x)dx.对定积分定义的理解(曲边梯形的面积)试估计由直线x1
7、，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S，并写出估计值的误差【解】为了减小误差，我们可以将区间分得细一些，将区间1，2平均分成10份，如图所示则过剩估计值为S10.10.539.不足估计值为s10.10.464.过剩估计值与不足估计值之差为S1s10.075.所以无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积S，误差都不会超过0.075.用分割、近似代替、求和可以估计曲边梯形的面积，它体现了一种化整为零，积零为整(逼近)的思想方法1.(1)在求由抛物线yx2与直线x2，y0所围成的平面图形的面积时，把区间0，2等分成n个小区间，则第i个区间为()A.B.C. D.(2)设S表示由曲线yx3与直线x1，
8、y0所围成的封闭区域的面积，试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差解：(1)选C.因为把0，2分成相等的n个小区间，所以每个小区间的长度为，所以第i个区间为.(2)将区间0，1平均分成10份，则曲边梯形面积的过剩估计值为S1(0.130.2313)0.10.302 5；不足估计值为s1(00.130.230.93)0.10.202 5；过剩估计值与不足估计值之差为S1s10.1.无论用过剩估计值还是用不足估计值来表示该平面图形的面积，误差都不会超过0.1.用定积分的几何意义求定积分利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.【解】(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆
9、心以3为半径的上半圆，其面积为S32.所以由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，所以(3x1)dx(331)216.(1)利用几何意义求定积分，关键是准确理解被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确性 (2)一般地，如果图形的面积是直线段或圆弧围成时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要考虑函数的正负，是否具有对称性 2.(1)由函数yx的图像，直线x1，x0，y0所围成的图形的
10、面积可表示为()A.(x)dxB.|x|dxC.xdx D.xdx(2)利用定积分的几何意义证明cos xdx2cos xdx成立解：(1)选B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S|x|dx.(2)证明：函数ycos x，x是偶函数，故曲线ycos x，x与坐标轴围成图形的面积S1等于曲线ycos x，x与坐标轴围成图形的面积S2，于是由定积分的几何意义，有cos xdxS1S22S22cos xdx.定积分性质的应用已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1) (3x3)dx；(2) (6x2)dx.【解】(1) (3x3)dx3x3dx3312.(2) (6x2)dx6x2
11、dx66126. 在本例条件不变的情况下，试求(3x22x3)dx的值解：(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx327.利用定积分的性质计算定积分的方法(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算 3.已知xdx，x2dx，求下列定积分的值：(1) (2xx2)dx；(2) (2x2x1)dx.解：(1) (2xx2)dx2xdxx2dx2e2.(2) (2x2x1)dx2x2dxxdx1dx，因为xdx，x2dx，又由定积分的几何意义知：1
12、dx等于直线x0，xe，y0，y1所围成的图形的面积，所以1dx1ee，故(2x2x1)dx2ee3e2e.易错警示因忽视定积分的几何意义致误定积分()dx_【解析】曲线y，即x2y24(0x2，0y2)，表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的圆弧和点(2，0)，(0，2)，dx表示被积函数y在积分区间0，2上的图像与x轴围成的平面图形的面积Sr2，即dx，所以()dxdx.【答案】本题易忽视被积函数的符号而错解定积分的值为.对于定积分f（x）dx，当f（x）0时，定积分就等于曲边梯形的面积；当f（x）0时，定积分等于曲边梯形面积的相反数；计算定积分时，常常运用定积分的性质2，即kf（x）d
13、xkf（x）dx（k为常数），将被积函数中的系数调整位置以后再计算.1当n很大时，函数f(x)x2在区间(iN)上的值可以用下列中的哪一项来近似代替()AfBfCf Df(0)解析：选C.任一函数在上的值均可以用f近似代替2图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.2xdxB.(2x1)dxC.(2x1)dxD.(12x)dx解析：选B.根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx1dx(2x1)dx.3已知定积分f(x)dx8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx()A0B16C12 D8解析：选B.偶函数图像关于y轴对称，故f(x)dx2f(x)dx16.故选B.4已知xdx2，则|x|dx
14、_解析：法一：|x|dx|x|dx|x|dx(x)dxxdxxdxxdx224.法二：因为y|x|在2，2上为偶函数，所以函数图像关于y轴对称，所以|x|dx2xdx224.答案：45已知f(x)求f(x)在区间0，5上的定积分解：如图画出函数f(x)的图像由定积分的几何意义得xdx222，(4x)dx(12)1，dx211.所以f(x)dxxdx(4x)dxdx21. A基础达标1设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1，2，n)，作和式Sn(i)x，其中x为小区间的长度那么关于和式Sn的大小
15、，下列说法正确的是()A与f(x)和区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)和区间a，b和分点的个数n有关，与i的取法无关C与f(x)和区间a，b和i的取法有关，与分点的个数n无关D与f(x)和区间a，b和分点的个数n和i的取法都有关解析：选D.Sn即为实际的S近似代替后的和式，其与f(x)、区间a，b、分点个数n、i的取法均有关2如图所示，f(x)dx等于()AS1S2S3BS1S2S3CS1S2S3 DS1S2S3解析：选C.由定积分的几何意义，当f(x)0时，f(x)dx表示面积S，当f(x)0时，f(x)dxS.故选C.3已知曲线yf(x)在x轴下方，则由yf(x)，y
16、0，x1和x3所围成的曲边梯形的面积S可表示为()Af(x)dx Bf(x)dxCf(x)dx Df(x)dx解析：选C.因为f(x)位于x轴下方，故f(x)0，所以f(x)dx0，故上述曲边梯形的面积为f(x)dx.4设函数f(x)，则f(x)dx()A.(3x21)dxB.3xdxC.(3x21)dx3xdxD.3xdx(3x21)dx解析：选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与相应的解析式一致由定积分的性质，知选D.5定积分xdx与dx的大小关系是()A.xdxdx B.xdxdxC.xdxdx D.无法确定解析：选C.在同一坐标系中画出y与yx的图像如图由图可知
17、，当x0，1时，y的图像在yx的图像上方由定积分的几何意义知，xdxdx.6用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S_；(2)S_；(3)S_答案：(1) sin xdx(2) dx(3) (x)dx7若f(x)dx1，3f(x)dx2，则f(x)dx_解析：因为f(x)dx1，所以f(x)dx2，因为3f(x)dx2，所以f(x)dx，所以f(x)dxf(x)dxf(x)dx2.答案：8 (1sin x)dx_解析：函数y1sin x的图像如图所示由正弦型函数图像的对称性可知， (1sin x)dxS矩形ABCD2.答案：29已知f(x)dx8，g(x)dx4，求下列定积分：(
18、1)f(x)g(x)dx；(2)3f(x)dx；(3)3f(x)4g(x)dx.解：(1)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx8412.(2)3f(x)dx3f(x)dx3824.(3)3f(x)4g(x)dx3f(x)dx4g(x)dx3f(x)dx4g(x)dx24168.10一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程解：依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为sv(t)dttdt (50t)dt10dt300400200900(米)B能力提升11若定积分dx，则m等于()A1 B0C1 D2解析：选A.根据定积分的几
19、何意义知，定积分dx的值就是函数y的图像与x轴及直线x2，xm所围成的图形的面积y是一个半径为1的半圆，其面积等于，而dx，所以m1.12已知t0，若(2x1)dx6，则t_解析：如图所示，由定积分的几何意义知(2x1)dx表示由x0，xt，x轴和函数y2x1围成的图形的面积的代数和所以1(2t1)6.即t2t60，得t3或t2(舍去)答案：313利用定积分的几何意义计算下列定积分(1) dx；(2) f(x)dx，其中f(x)解：(1)原式|2x|dx(2x)dx(x2)dx，如图所示由定积分的几何意义知 (2x)dx222， (x2)dx11.所以dx.(2)由定积分的几何意义知x3dx0，2xdx24，cos xdx0，由定积分的性质得f(x)dxx3dx2xdxcos xdx24.14(选做题)如图所示，抛物线yx2将圆面x2y28分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为，试求(x2)dx的值解：解方程组，得x2.所以阴影部分的面积为(x2)dx.因为圆的面积为8，所以由几何概型的概率公式，可得阴影部分的面积是8()2，即(x2)dx2.由定积分的几何意义，得(x2)dx(x2)dx.
