1、课时作业(十二)1若直线l1的方向向量与直线l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30B150C30或150 D以上均错答案A2已知平面内有一个以AB为直径的圆，PA，点C在圆周上(异于A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则()AADE为平面APB与平面BPC的夹角BAED为平面APB与平面BPC的夹角CDAE为平面APB与平面BPC的夹角DACB为平面APB与平面BPC的夹角答案B3二面角l等于，异面直线a，b满足a，b，且al，bl，则a，b所成的角等于()A BC. D或答案D4从二面角内一点分别向它的两个半平面作垂线，则两垂线所成的角与
2、二面角的平面角的大小关系是()A相等 B互补C相等或互补 D相等或互余答案C解析两条垂线所成的角是锐角或直角，当二面角的平面角是锐角时，它们是相等关系；当二面角的平面角是钝角时，它们是互补关系，故选C.5设u(2，2，5)，v(6，4，4)分别为平面，的法向量，则平面，的夹角为()A0 B45C60 D90答案D6.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案D7如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为()
3、A. B.C. D与点P的位置有关答案C解析方法一：取AD的中点E，连接A1E，则A1AEADM，AA1EDAM，AA1EA1AM，AMA1E.又PO在平面ADD1A1内的射影为A1E.异面直线OP与AM所成的角的大小为.方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，设P(m，0，1)，.cos，0.，异面直线OP与AM所成的角的大小为.8如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为60，且AB2，AD1，AA13，M，N分别为BB1，B1C1的中点，则MN与AC夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案B9.如图，
4、四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么平面ABP与平面APC夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案C10已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将DAE和CBE分别沿DE，CE折起，使AE与BE重合，A，B两点重合后记为点P，那么二面角PCDE的大小为()A30 B45C60 D90答案A解析取CD中点F，连接PF，EF，则PFCD，EFCD.PFE为二面角PCDE的平面角设正方形边长为1，则EF1，PE.又PECP，PEDP，PE平面PCD.PEPF.PFE30.11如图，平面AC平面AE，且四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，则异面直线AC与BF所成角的大小是_答
5、案6012将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，如图所示，则平面ABC与平面BCD的夹角的余弦值为_答案13如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC1，CB，侧棱AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.(1)求证：CD平面BDM；(2)求平面B1BD与平面CBD所成二面角的余弦值解析(1)证明：如图，以C为原点建立坐标系B(，0，0)，B1(，1，0)，A1(0，1，1)，D，M.，(，1，1)，.0，0.CDA1B，CDDM.A1B，DM为平面BDM内两条相交直线，CD平面BDM.(2)设BD中点为G，连接B1G，则G，.0，BDB1G.又CDBD
6、，与的夹角等于所求二面角的平面角cos.所求二面角的余弦值为.14(2018课标全国，理)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与面MCD所成二面角的正弦值解析(1)证明：由题设知平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又因为DM平面ABCD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，
7、建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，所以(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n(1，0，2)由(1)易知是平面MCD的一个法向量，因此cosn，所以sinn，.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.15如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明：AC1A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1A
8、BC的余弦值解析方法一：(1)证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，所以BC平面AA1C1C.连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，A1E.因为A1C为ACC1的平分线，故A1DA1E.作DFAB，F为垂足，连接A1F，由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1ABC的平面角
9、由AD1得D为AC中点，DF，A1F.所以cosA1FD.所以二面角A1ABC的余弦值为.方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)证明：设A1(a，0，c)，由题设有a2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2得2，即a24ac20.于是a24ac20，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则m，m，即m0，m0.因为(0，1，0)，(a2，0，c)，故y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，m(c，0，2a)，点A到平面BCC1B1的距离为|cosm，|c.又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c.代入解得a3(舍去)或a1.于是(1，0，)设平面ABA1的法向量n(p，q，r)，则n，n，即n0，n0，pr0，且2pq0.令p，则q2，r1，n(，2，1)又p(0，0，1)为平面ABC的法向量，故cos n，p.所以二面角A1ABC的余弦值为
