1、12函数的概念和性质12.1对应、映射和函数 学习目标1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.2.会判断给出的对应是否是映射.3.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.4.能说出函数的三要素预习导引1映射(1)在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射(2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：AB.(3)在映射f：AB中，集合A叫作映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的象，记作yf(x)，x叫作y的原象2
2、函数(1)函数就是数集到数集的映射(2)函数的定义：设A，B是两个非空的数集如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：AB，或者yf(x)(xA，yB)(3)在函数yf(x)(xA，yB)中，A叫作函数的定义域，与xA对应的数y叫x的象，记作yf(x)，由所有xA的象组成的集合叫作函数的值域(4)函数的三要素：对应法则；定义域；值域.要点一映射定义的理解例1判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射哪些不是，为什么？(1)Ax|xR，By|yR，f：xy；(2)AR，B0,1，f：xy(3)A0,1,2,
3、9，B0,1,4,9,64，f：ab(a1)2.解(1)任一个x都有两个y与之对应，不是映射(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，是映射(3)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，是映射规律方法判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可跟踪演练1下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？(1)AR，B
4、R，f：xy；(2)Aa|an，nN，B，f：ab；(3)A0，)，BR，f：xy2x；(4)Ax|x是平面M内的矩形，Bx|x是平面M内的圆，f：作矩形的外接圆解(1)当x1时，y的值不存在，不是映射，更不是函数(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素(3)当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，不是映射，更不是函数(4)是映射，但不是函数，A，B不是非空的数集要点二映射的象与原象例2已知映射f：AB，其中ABR，对应法则f：xyx22x.(1)求A中元素1和3的象；(2)求B中元素0和3的原象；(3)B中的哪一些元素没有原象？解(1)令x1得y(1)22(1)1，
5、令x3得y322315，所以1的象是1,3的象是15.(2)令x22x0，解得x0或2，所以0的原象是0或2.令x22x3.解得x1或3，所以3的原象是1或3.(3)由于yx22x(x1)211，所以只有当y1时，它在A中才有原象，而当y1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于1的元素没有原象规律方法1.解答此类问题的关键：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则2对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解跟踪演练2(1)映射f：AB，A3，2，1,1,2,3,4，对于任意aA，在集合B中和它对应的元素是|a
6、|，则集合B中元素的最少个数是()A7B6C5D4(2)设Ax|x是锐角，B(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60相对应的B中的元素是_，与B中元素相对应的A中的元素是_答案(1)D(2)45解析(1)由映射定义知，B中至少有元素1,2,3,4，即B中至少有4个元素，选D.(2)60角的正弦等于，45角的正弦等于，所以60的象是，的原象是45.要点三映射的个数问题例3已知Ax，y，Ba，b，c，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？解分两类考虑：(1)集合A中的两个元素都对应B中相同元素的映射有3个(2)集合A中的两个元素对应B中不同元素的映射有6个A到B的映射共有9个规律方
7、法1.若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个，从B到A的映射有nm个2对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等)跟踪演练3(1)在例3中，从集合B到集合A可以建立多少个不同的映射？(2)已知集合Aa，b，B2,0，2，f是从A到B的映射，且f(a)f(b)0，求这样的映射f的个数解(1)可以建立以下8个不同的映射：(2)符合要求的映射f有以下3个：要点四函数的概念例4下列对应或关系式中是A到B的函数的是()Ax2y21，xA，yBBA1,2,3,4，B1,1，对应法则如图所示CAR，BR
8、，f：xyDAZ，BZ，f：xy答案B解析选项A中由x2y21，得y，对于x任意值，y不唯一；选项B中，对于任意xA，都有唯一yB；选项C中，x1时，通过法则f，y值不存在；选项D中，取x2A，但是通过f，对应y值为B，即y值不存在，由函数定义知，答案为B.规律方法判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序：(1)将原式等价转化为用x表示的形式；(2)看x的取值集合是否为，若是，则不是函数，若不是，再看x与y的对应法则；(3)判断对于原式有意义的每一个x值，是否都有唯一的y值与之对应若是，则确定y是x的函数，若不是，则不能确定y是x的函数另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一
9、个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数跟踪演练4下列各图中，可表示函数yf(x)图象的只可能是()答案D解析由函数定义知，对于x的每一个值应有唯一的y的值与之对应，只有D项正确.1给出下列四个对应法则，是映射的是()ABC D答案C解析中c没有与之对应的元素，不是映射；中a有两个与之对应的元素，不是映射，所以选C.2对于集合A到集合B的映射，下列理解不正确的是()AA中的元素在B中一定有象BB中的元素在A中可能没有原象C集合A中的元素与B中的元素一一对应D设ABR，那么yx2是A到B的一个映射答案C解析在A到B的映射中，A中的元素与B中的元素不一定是一一对应，可以多对一，选C.
10、3点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素为()A(0,2) B(2,0)C(，1) D(，1)答案C解析x2，y0时，1，(2,0)在f作用下的对应元素为(，1)4下列各式中，能确定y是x的函数的是()Ax3y1 Bx2y22Cy Dy2x答案A解析B选项中y，D选项中y，x的每一个值都有2个y值与之对应，不是函数，C项中由于x20且1x0，所以x的值不存在，也不能确定函数，只有A项正确5设集合Aa，b，B0,1，则从A到B的映射共有_个答案4解析可以构成4个映射，它们是1.映射的定义(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非
11、空集合A和B，建立一个对应法则f：AB，且满足映射的对应关系(2)对应关系有三种：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合2函数符号yf(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下即可得到唯一确定的值y”在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应法则，甚至认为函数就是函数值3正确理解函数的三要素，其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能
12、使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义一、基础达标1已知A1,1，映射f：AA，则对xA，下列关系中肯定错误的是()Af(x)xBf(x)1Cf(x)x2 Df(x)x2答案D解析对于D，取x1A，但是通过f，对应f(1)3A.由映射定义知，D错误2已知函数f(x)，则f(1)等于()A1B2 C3D0答案B解析f(1)2.3下列各组函数中，表示同一函数的是()Ayx1和y Byx和yCyx2和y(x1)2 Dy和y答案D解析A，B中两函数的定义域不同，C中的两个函数对应法则不同，故选D.4下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映
13、射的对应是_答案(2)(5)5已知函数f(x)x2|x2|，则f(1)_.答案2解析f(1)12|12|2.6已知集合A到集合B2,3,4,5的映射f：xy|x|1，且集合B中至少有一个元素在集合A中没有原象，则集合A中最多有_个元素答案6解析若|x|12，则x3；若|x|13，则x4；若|x|14，则x5；若|x|15，则x6.又因为集合B中至少有一个元素在集合A中没有原象，所以集合A中最多有6个元素7已知A1,2,3，m，B4,7，n4，n23n，其中m，nN.若xA，yB，有对应法则f：xypxq是从集合A到集合B的一个函数，且f(1)4，f(2)7，试求p，q，m，n的值解由f(1)4
14、，f(2)7，列方程组：故对应法则为f：xy3x1.由此判断出A中元素3的象是n4或n23n.若n410，因为nN，不可能成立，所以n23n10，解得n2(舍去不满足要求的负值)又当集合A中的元素m的象是n4时，即3m116，解得m5.当集合A中的元素m的象是n23n时，即3m110，解得m3.由元素互异性知，舍去m3.故p3，q1，m5，n2.二、能力提升8设f(x)，则等于()A1B1 C.D答案B解析f(2)，f，()1.9g(x)3x，f(x)(x0)，则f()g()等于()AB. C.D9答案C解析f()15，g()，f()g().10已知集合Aa，b，Bc，d，则从A到B的不同映射
15、有_个答案4解析ac，bc；ad，bd；ac，bd；ad，bc，共4个11若f(x)ax2，a为一个正的常数，且ff()，求a的值解因为f()2a.所以ff()f(2a)a(2a)2，所以a(2a)20(a0)，故2a0，所以a.三、探究与创新12已知集合A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，aN，kN，xA，yB，f：xy3x1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B.解根据对应法则f，有：14；27；310；k3k1.若a410，则aN，不符合题意，舍去；若a23a10，则a2(a5不符合题意，舍去)故3k1a416，得k5.综上：a2，k5，集合A1,2,3,5B4,7,10,1613已知函数f(x).(1)求f(2)与f()，f(3)与f()；(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f()有什么关系吗？并证明你的发现；(3)求f(1)f(2)f(3)f(2 014)f()f()f()解(1)f(x)，f(2)，f()，f(3)，f().(2)由(1)可发现f(x)f()1，证明如下：f(x)f()1.(3)由(2)知：f(2)f()1，f(3)f()1，f(2 014)f()1，原式11112 013.2 013个
