1、第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是().A.1,12,13,14,B.-1,2,-3,4,C.-1,-12,-14,-18,D.1,2,3,n解析:A项中数列是递减的无穷数列,B项中数列是摆动数列,D项中数列是递增的有穷数列.答案:C2若数列an的前n项和Sn=2n2-3n(nN*),则a4等于 ().A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3600是数列12,23,34,45,的().A.第
2、20项B.第24项C.第25项D.第30项解析:a1=12=1(1+1),a2=23=2(2+1),a3=34=3(3+1),a4=45=4(4+1),an=n(n+1),令n(n+1)=600,解得a=24或a=-25(舍去),即600是数列an的第24项.答案:B4在等比数列an中,若a2a3a6a9a10=32,则a92a12的值为().A.4B.2C.-2D.-4解析:设公比为q,由a2a3a6a9a10=32,得a65=32,所以a6=2,所以a92a12=a6a12a12=a6=2.答案:B5若an为等差数列,Sn是其前n项和,且S11=223,则tan a6的值为().A.3B.
3、-3C.3D.-33解析:S11=11(a1+a11)2=11(a6+a6)2=11a6=223,则a6=23,tan a6=-3.答案:B6若数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2,且S5=30,则S8等于().A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列an的公差为d,则有a1+5d=2,5a1+5(5-1)2d=30,解得a1=263,d=-43,所以S8=8a1+8(8-1)2d=8263+28-43=32.答案:B7若等比数列an的各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为an的前n项和,则S6S3等于().A.2B.78C.98D.54解析:设等比数列an的公比
4、为q,则有q0.a3,a5,-a4成等差数列,a3-a4=2a5,a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=12,q=12,S6S3=a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=1-q61-q3=1+q3=1+123=98.答案:C8已知等差数列an的前n项和为Sn,若OB=a1OA+a2021OC,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S2 020等于()A.1 009B.1 010C.2 009D.2 010解析:A,B,C三点共线,a1+a2 020=1.S2 020=2 020(a1+a2 020)2=1 010.答案:B9已知在数列an中,a1
5、=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前9项和等于().A.20B.27C.36D.45答案:B10设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列1an前10项的和为().A.111B.2011C.1011D.119答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案:1012若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=,前n项和Sn=.解析:由题意知q=a3+a5a2+a4=4020=2.a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2
6、)=20,a1=2.Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.答案:22n+1-213若数列an的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a值构成,则数列an的一个通项公式an=.解析:由题中程序框图知a1=0+1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,an=an-1+n,即an=1+2+3+(n-1)+n=n(n+1)2.答案:n(n+1)214已知数列an的前n项和Sn=n2+2n-1,则a1+a3+a5+a25=.解析:当n=1时,a1=S1=12+21-1=2;当n2时,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)-1=n2-2,所以an=Sn-Sn-1=(n2+2n-1)-(
7、n2-2)=2n+1.此时若n=1,则an=2n+1=3a1,所以an=2,n=1,2n+1,n2.故a1+a3+a5+a25=2+(7+11+15+51)=2+12(7+51)2=350.答案:35015中位数为1 012的一组数构成等差数列,其末项为2 020,则该数列的首项为.解析:由题意知,1 012为数列首项a1与2 020的等差中项,故a1+2 0202=1 012,解得a1=4.答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列an中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前n项和.解设该
8、数列公差为d,前n项和为Sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列an的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列an的前n项和Sn=4n或Sn=3n2-n2.17(8分)已知数列an是等差数列,a2=6,a5=18;数列bn的前n项和是Tn,且Tn+12bn=1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d,由题意,得a1+d=6,a1+4d=18,解得a1=2,d=4.故an=2+4(n-1)=4n-2.(2)
9、当n=1时,b1=T1,由T1+12b1=1,得b1=23.当n2时,Tn+12bn=1,Tn=1-12bn,Tn-1=1-12bn-1,Tn-Tn-1=12(bn-1-bn).bn=12(bn-1-bn),bn=13bn-1.数列bn是以23为首项,13为公比的等比数列.Tn=231-13n1-13=1-13n.18(9分)在数列an中,a1=12,an+1=n+12nan,nN*.(1)求证:数列ann为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明由an+1=n+12nan,知an+1n+1=12ann,ann是以12为首项,12为公比的等比数列.(2)解由(1)知ann是首项为1
10、2,公比为12的等比数列,ann=12n,an=n2n.Sn=121+222+n2n,则12Sn=122+223+n2n+1,-,得12Sn=12+122+123+12n-n2n+1=1-n+22n+1,Sn=2-n+22n.19(10分)已知an是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为an的前n项和.(1)求通项公式an及Sn;(2)设bn-an是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.解(1)因为an是首项为19,公差为-2的等差数列,所以an=19-2(n-1)=-2n+21,即an=-2n+21,Sn=19n+n(n-1)2(-2)=-n2+20n,即Sn
11、=-n2+20n.(2)因为bn-an是首项为1,公比为3的等比数列,所以bn-an=3n-1,即bn=3n-1+an=3n-1-2n+21,所以Tn=b1+b2+bn=(30+a1)+(3+a2)+(3n-1+an)=(30+3+3n-1)+(a1+a2+an)=1(1-3n)1-3-n2+20n=3n-12-n2+20n.20(10分)已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且1a1-1a2=2a3,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)nbn2的前2n项和.解(1)设数列an的公比为q.由已知,有1a1-1a1q=2a1q2,解得q=2,或q=-1.又由S6=a11-q61-q=63,知q-1,所以a11-261-2=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n-1+log22n)=n-12,即bn是首项为12,公差为1的等差数列.设数列(-1)nbn2的前n项和为Tn,则T2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2.
