1、高三总复习人教A 版 数学（理）第八节正弦定理和余弦定理应用举例高三总复习人教A 版 数学（理）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题高三总复习人教A 版 数学（理）1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的 角 叫 仰角，在水平线的角叫俯角(如下图)上方下方高三总复习人教A 版 数学（理）2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如上图)3方向角相对于某一正方向的水平角，(如右图)(1)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似高三总复习人教A 版
2、数学（理）4坡度坡面与水平面所成的二面角的度数(如右图，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如右图，i为坡比)高三总复习人教A 版 数学（理）1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()A BC90 D180解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知答案：B高三总复习人教A 版 数学（理）2如右图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A，a，bB，aCa，b，D，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似答案：A高三总复习人教A 版 数学（理）3在200
3、m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为_ m.解析：如右图所示，设塔高为 h m.由题意及图可知：(200h)tan60 200tan60，解得：h4003 m.答案：4003高三总复习人教A 版 数学（理）4如右图，海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A、B，灯塔B 位于灯塔 A 的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西 75，与 A 相距 3 2海里的 D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西 60方向，与 B 相距 5 海里的 C 处则两艘轮船之间的距离为_海里高三总复习人教A 版 数学（理）解析：连结 AC，则 AC5，在ACD 中，AD3 2，
4、AC5，DAC45，由余弦定理得 CD 13.答案：13高三总复习人教A 版 数学（理）5某观察站C在A城的南偏西20方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，则此人还需走_千米才能到达A城解析：如右图所示，设ADx，ACy.BAC204060，在ACD中，有x2y22xycos60212，即x2y2xy441.高三总复习人教A 版 数学（理）而在ABC中，(x20)2y22(x20)ycos60312，即x2y2xy40 x20y561.得y2x6，代入得x26x1350，解得x15(千
5、米)，即此人还需走15千米才能到达A城答案：15高三总复习人教A 版 数学（理）热点之一 测量距离问题有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两地测量，隔着某一障碍物两地测量等由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷高三总复习人教A 版 数学（理）例1 如右图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发
6、现张角ABC120，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角ADC160，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)高三总复习人教A 版 数学（理）思 路 探 究 ADB中用正弦定理求AD ADC中用余弦定理 求AC课堂记录 在ABD 中，BD400 米，ABD120.ADC160，ADB20，DAB40.BDsinDABADsinABD，400sin40ADsin120，AD538.9.高三总复习人教A 版 数学（理）在ADC中，DC800，ADC160，AC2AD2DC22ADDCcosADC538.9280022538.9800cos160174
7、0653.8，AC1319.索道AC长约1319米思维拓展 解答过程中抓不住AD的桥梁作用导致无法求解，其原因是对题意不理解所致高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 要测量河对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 3km 的 C、D 两点，并且测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则 A、B 之间的距离为_高三总复习人教A 版 数学（理）解析：ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3km在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60，BC 3sin75sin60 6 22在ABC 中，由余弦定理得高三总复习人教A 版 数学（理）AB2AC2BC22ACBCc
8、osACB(3)2(6 22)22 3 6 22cos755AB 5km答：A、B 之间的距离为 5km.答案：5km高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决高三总复习人教A 版 数学（理）例 2 如下图 1 所示，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为 3 m 的球形工件吊起平放到高为 6 m 的平台上，工地上有一个吊臂 DF 长为 12 m 的吊车，吊车底座 FG 高 1.5 m当物件与吊臂接触后，钢索 CD
9、 的长可通过顶点 D 处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？高三总复习人教A 版 数学（理）思路探究 本题中吊车能把球形工件吊起的高度y取决于吊臂的张角，即DFA，因此用来表示图中各边之长，再由导数法求其最值课堂记录 设物件能被吊车吊起的高度为 y，由上图 2 可知，yAB1.5ADODOB1.5DFsin3cos 31.512sin3cos 31.5，所以 y12cos 3sincos2，由 y0，高三总复习人教A 版 数学（理）得 12cos 3sincos2，4 3tan(1tan2)，所以 tan 3，60.当 00，y
10、 单调递增，同理，当 6090时，yn，所 以 与 的 关 系 满 足mcoscosnsin()时船没有触礁危险答案：mcoscosnsin()高三总复习人教A 版 数学（理）在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就考查了这一点该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向高三总复习人教A 版 数学（理）例4(2009海南、宁夏高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量A、B、M、
11、N在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤高三总复习人教A 版 数学（理）解 方案一：需要测量的数据有：A 点到 M、N 点的俯角1、1；B 点到 M、N 的俯角 2、2；A、B 间的距离 d(如右图所示)第一步：计算 AM.由正弦定理得AMdsin2sin12；第二步：计算 AN.由正弦定理得ANdsin2sin21；高三总复习人教A 版 数学（理）第三步：计算 MN.由余弦定理得MN AM2AN22AMANcos11.方案二：需要测量的数据有：A 点到
12、M、N 点的俯角 1、1；B 点到 M、N 点的俯角 2、2；A、B 的距离 d(如图所示)第一步：计算 BM.由正弦定理得 BMdsin1sin12；高三总复习人教A 版 数学（理）第二步：计算 BN.由正弦定理得 BNdsin1sin21；第三步，计算 MN.由余弦定理得MN BM2BN22BMBNcos22.高三总复习人教A 版 数学（理）1(2010陕西高考)如下图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往
13、营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？高三总复习人教A 版 数学（理）解：由题意知 AB5(3 3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB 中，由正弦定理得DBsinDABABsinADB，高三总复习人教A 版 数学（理）DBABsinDABsinADB 53 3sin45sin10553 3sin45sin45cos60cos45sin605 3 3131210 3(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，高三总复习人教A 版 数学（理）在DBC 中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001200210 320 312900，CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)答：救援船到达 D 点需要 1 小时高三总复习人教A 版 数学（理）
