1、第二章 点、直线、平面 之间的位置关系 21 空间点、直线、平面之间的位置关系212 空间中直线与直线之间的位置关系登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1会判断空间两直线的位置关系2理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角3.能用公理4解决一些简单的相关问题学 习 目 标自主导学预习课本 P44P47，思考并完成以下问题知识点一|空间中两条直线的位置关系 1异面直线(1)定义：1 _任何一个平面内的两条直线叫做异面直线要点分析：异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交，也不平行不同在不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线如图中，虽然有 a，b，即 a，b 分别在两
2、个不同的平面内，但是因为 abO，所以 a 与 b 不是异面直线(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感如图所示，a 与 b 为异面直线(3)判断方法方法内容定义法 依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.
3、空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类共面直线相交直线：同一平面内，2 _ 公共点.平行直线：同一平面内，3 _公共点异面直线：不同在任何一个平面内，4 _公共点(2)按两条直线是否有公共点分类有且仅有一个公共点相交直线无公共点平行直线异面直线有且只有一个没有没有小试身手1不平行的两条直线的位置关系是()A相交 B异面C平行D相交或异面答案：D2在三棱锥 SABC 中，与 SA 是异面直线的是()ASBBSCCBCDAB答案：C知识点二|公理 4(平行公理)文字语言平行于 5 _的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言acbc 6 _图形语言同一条直线ab知
4、识点三|空间等角定理 1定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 7 _或 8 _符号语言OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180相等互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等小试身手3(1)已知 ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于()A30 B30或 150C150 D以上结论都不对解析：选 B 由等角定理可知PQR 与ABC 相等或互补，故PQR30或 150.(2)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线的位置关系有_答案：相交、平行或异面知识点四|异面
5、直线所成的角 1概念：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线aa，bb，我们把a与b所成的 9 _(或 10 _)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)2异面直线所成的角 的取值范围：11 _.3如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相 12 _两条互相垂直的异面直线 a，b，记作 13 _.锐角直角090垂直ab4异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点 O，过点 O 分别作 aa，bb，则a与 b所成的锐角(或直角)为异面直线 a 与 b 所成的角，然后通过解三角形等方法求角(2)在其中一条直线上任取一点(如在 b 上任取一点)O，过点O 作另一条直
6、线的平行线(如过点 O 作 aa)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如 b 与 a所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图)思考探究|辨别正误|判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依据()(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等()剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 空间两条直线的位置关系的判定【例 1】若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 a和 c 的位置关系是()A平行 B异面C相交D平行、相交或异面解析 可借助长方体来判断如图所示，在长方体 AB
7、CDABCD中，AD所在直线为 a，AB 所在直线为 b，已知 a 和 b 是异面直线，b 和 c是异面直线，则 c 可以是长方体 ABCDABCD中的BC，CC，DD.故 a 和 c 可以平行、相交或异面答案 D1判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.|方法总结|1如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_；(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位
8、置关系是_；(3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_；(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_解析：序号 结论理由(1)平行 因为 A1D1 綊 BC，所以四边形 A1BCD1 为平行四边形，所以 A1BD1C(2)异面A1B 与 B1C 不同在任何一个平面内(3)相交D1DD1CD1(4)异面AB 与 B1C 不同在任何一个平面内答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面题型二 公理 4、等角定理的应用【例 2】在正方体 ABCDABCD中，E，F，E，F分别是 AB，BC，AB，BC的中点，求证：EEFF.证明 因为 E，E分别是 AB，AB的中点，所以 BEBE，且
9、 BEBE.所以四边形 EBBE是平行四边形，所以 EEBB，同理可证 FFBB.所以 EEFF.【探究 1】变条件、变结论在例 2 中，若M，N 分别是 AD，CD的中点，求证：四边形 ACNM 是梯形证明 连接 AC.M，N 分别是 AD，CD的中点，MN 綊12AC.又知 AC綊 AC，MN 綊12AC.又知 AM 与 CN 不平行故四边形 ACNM 是梯形【探究 2】变条件、变结论将例 2 变为：已知 E，E分别是正方体 ABCDABCD的棱 AD，AD的中点，求证：BECBEC.证明 如图所示，连接 EE.因为 E，E分别是 AD，AD的中点，所以 AEAE，且 AEAE.所以四边形
10、 AEEA是平行四边形所以 AAEE，且 AAEE.又因为 AABB，且 AABB，所以 EEBB，且 EEBB.所以四边形 BEEB是平行四边形所以 BEBE.同理可证 CECE.又BEC 与BEC的两边方向相同，所以BECBEC.1空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行2求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.|方法总结|2如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB，BC
11、，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：ACBD.证明：(1)在ABD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，EHBD.同理 FGBD，则 EHFG.故 E，F，G，H 四点共面(2)由(1)知 EHBD，同理 ACGH.又四边形 EFGH 是矩形，EHGH.故 ACBD.题型三 异面直线所成的角【例 3】如图所示，在空间四边形 ABCD中，ABCD，ABCD，E，F 分别为 BC，AD的中点，求 EF 和 AB 所成的角解 如图，取 BD 的中点 G，连接 EG，FG.因为 E，F 分别为 BC，AD 的中点，ABCD，所以 EGC
12、D，GFAB，且 EG12CD，GF12AB.所以GFE 就是 EF 与 AB 所成的角或其补角，EGGF.因为 ABCD，所以 EGGF.所以EGF90.所以EFG 为等腰直角三角形所以GFE45，即 EF 与 AB 所成的角为 45.1异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点2求异面直线所成的角的一般步骤(1)作角：平移成相交直线(2)证明：用定义证明前一步的角为所求(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.|方法总结|3空间四边形 ABCD
13、中，ABCD 且 AB 与 CD 所成的角为 30，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小解：取 AC 的中点 G，连接 EG，FG，则 EG 綊12AB，GF 綊12CD.故直线 GE，EF 所成的锐角即为 AB 与EF 所成的角，直线 GE，GF 所成的锐角即为 AB 与 CD 所成的角AB 与 CD 所成的角为 30，EGF30或 150.由 ABCD，知 EGFG，EFG 为等腰三角形当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故 EF 与 AB 所成的角为 15或 75.知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1三种位置关系：判定两直线的位置
14、关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2一类角的求法：在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角需要强调的是，两条异面直线所成角为，且 090，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小自测检评1若空间两条直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是()A共面B平行C异面D平行或异面解析：选 D 若直线 a 和 b 共面，则由题意可知 ab；若a 和 b 不共面，则由题意可知 a 与 b 是异面直线2一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面B相交或异面C异面
15、D相交解析：选 B 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 与 BC 是异面直线，又 AA1BB1，AA1DD1，显然 BB1BCB，DD1与 BC 是异面直线，故选 B.3若 OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A130 B50C130或 50 D不能确定解析：选 C 根据定理，AOB与AOB 相等或互补，即AOB130或AOB50.4如图所示，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱 的 中 点，则 表 示 直 线 GH，MN 是 异 面 直 线 的 图 形 有_(填序号)解析：中，G，M 是中点，AG 綊 BM，GM 綊 AB綊 HN，GHMN，即 G，H
16、，M，N 四点共面；中，H，G，N 三点共面，且都在平面 HGN 内，而点 M 显然不在平面HGN 内，H，G，M，N 四点不共面，即 GH 与 MN 异面；中，G，M 是中点，GM 綊12CD，GM 綊12HN，即 GMNH是梯形，则 HG，MN 必相交，H，G，M，N 四点共面；中，同，G，H，M，N 四点不共面，即 GH 与 MN 异面答案：5在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 A1B1 所成角的余弦值为_解析：设棱长为 1，因为 A1B1C1D1，所以AED1 就是异面直线 AE 与 A1B1 所成的角在AED1 中，cosAED1D1EAE 123213.答案：13word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块
