1、绝密启用前 试卷类型：A2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） 2015.4本试卷共6页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效3非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作
2、答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，其中，是数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.平面向量，
3、若，则等于A B C D 3.已知集合，则 A B C D 4.命题，则为A， B，C， D，5.已知直线，平面，则下列能推出的条件是A.， B.， C.， D.，（图1） 6.已知某路口最高限速，电子监控测得连续辆汽车的速度如图1的茎叶图（单位：）若从中任取辆，则恰好有辆汽车超速的概率为 A. B. C. D.7.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的 最小正值为 A B C D 8.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与圆相切，则 此双曲线的离心率等于 A B. C. D 9.如图2所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的、两处应（图2）输出开始否是结束 分别填
4、写 A， B， C， D，10.定义在上的函数，单调递增，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：；.其中是在上的“追逐函数”的有A个 B.个 C个 D个二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答11.等差数列中，则 12.若实数满足，则的最小值为 22主视图22左视图图3俯视图13.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 俯视图（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计
5、算第一题的得分（图4）14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线：（为参数）与曲线：（为参数）相交于、两点，则_15（几何证明选讲选做题）如图4，、是的两条切线，切点分别为、若，则的半径为 三、解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 在中，已知,. （1）求与的值；（2）若角，的对边分别为，且，求，的值.17（本小题满分12分）是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）的浓度（微克/立方
6、米）5052545658727074767880 （1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）若周六同一时间段车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？18（本小题满分14分）（图5） 如图5，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，平面平面，且平面，. （1）证明：平面； （2）证明：.19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.20（本小题满分1
7、4分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为， ()，动点的轨迹为 （1）求曲线的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：以曲线的弦为直径；过点；直径求的取值范围21（本小题满分14分）已知函数，且对任意，都有.（1）求，的关系式；（2）若存在两个极值点，且，求出的取值范围并证明；（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由2015年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，
8、如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分50分12345678910DABBDCADCB二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分 11. 12. 13 14 15 .三、解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 在中，已知,.
9、 （1）求与的值；（2）若角，的对边分别为，且，求，的值.解：（1），2分又，3分.4分，且， .6分（2）法一：由正弦定理得，8分另由得，解得或（舍去），11分，.12分法二：由正弦定理得，8分又，10分得，即，11分，.12分【说明】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力.17（本小题满分12分）是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）的浓度（微克/立方米
10、）x5052545658727074767880O （1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）若周六同一时间段的车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？解：（1）散点图如下图所示. 2分y5052545658x727074767880O（2），6分， ， 9分故关于的线性回归方程是：.10分（3）当时， 所以可以预测此时的浓度约为.12分【说明】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力.18（本小题满分
11、14分）（第18题图） 如图，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，平面平面，且平面，. （1）证明：平面； （2）证明：.证明：（1）取的中点，连结、，1分是等腰直角三角形，2分又平面平面，平面平面，平面，3分由已知得平面，4分又，四边形为平行四边形，5分，6分而平面，平面，平面.7分（2）为的中点，为等边三角形，8分由（1）知平面，而平面，可得，9分，平面，10分而平面，11分又，12分而，平面，13分又平面，.14分【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列
12、的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.解：（1）当得，解得，1分当得，解得，3分（2）当时，即，（），4分另由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，5分.6分（2）把代入中得，即，7分，8分要使是整数，则须有是整数，能被整除，9分当时，此时，10分当时，此时，11分当时，此时，12分当，不可能是整数，13分综上所求，所求满足条件的整数对有，.14分【说明】本题主要考查等比数列的定义，会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式，考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力.20（本小题满分14分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，
13、线段的中点与原点连线的斜率为， ()，动点的轨迹为 （1）求曲线的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：以曲线的弦为直径；过点；直径求的取值范围解：（1）设，记的中点为，所以由题意 （）， （），由可得：（），化简整理可得：（），曲线的方程为（）6分（2）由题意，若存在以曲线的弦为直径的圆过点，则有，所以直线、的斜率都存在且不为，设直线的斜率为（不妨设），所以直线的方程为，直线的方程为，将直线和曲线的方程联立，得，消整理可得，解得，所以，以替换，可得，又因为，即有，所以，所以，即，（1）当时，解得；（2）当 时，方程有， 所以方程有唯一解；（3）当时，方程有， 且，所以方程有三个不
14、等的根综上，当 时，恰有一个圆符合题意21（本小题满分14分）已知函数，且对任意，都有.（1）用含的表达式表示；（2）若存在两个极值点，且，求出的取值范围，并证明；（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由解：（1）法一：根据题意：令，可得，1分经验证，可得当时，对任意，都有，2分法二：，1分要使上式对任意恒成立，则须有，即.2分（2）由（1）可知，且，3分令，要使存在两个极值点，则须有有两个不相等的正数根，或，解得或无解，5分的取值范围,可得，由题意知，令，则，而当时，即，在上单调递减，即时，7分（3）， 令得：，由（2）知时，的对称轴，又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点,10分又，在上递增，即时，恒成立，根据（2）可知且所以，即，使得，12分由，得，又，恰有三个不同的零点：. 综上所述，恰有三个不同的零点14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.命题人：殷木森、蔡俊杰、李勇审题人：魏显峰
