1、2016年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设全集U=R，集合A=x|x0，B=x|x1，则集合（UA）B=（）A（，0）B（，0C（1，+）D1，+）2下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x3Dy=lnx3设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）ABCD14执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）Ai3Bi4Ci5Di65在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（
2、）ABCD6“mn0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量煤气费 一月份 4m3 4元 二月份 25m3 14元 三月份35m3 19元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A11.5元B11元C10.5元D10元8设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足PMQ=90，则a的取值范
3、围是（）A18，6B65，6+5C16，4D65，6+5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知复数z=（2i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为10设平面向量，满足|=|=2， （+）=7，则向量，夹角的余弦值为11某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为12设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为13设函数f（x）= 那么ff（）=；若函数y=f（x）k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是14在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点
4、播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有部优秀影片三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x（）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（）当x（0，）时，求函数f（x）的值域16已知数列an的前n项和Sn满足4an3Sn=2，其中nN*（）求证：数列an为等比数列；（）设bn=an4n，求数列bn的前n项和Tn17如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点将
5、矩形ABCD沿着线段EF折起，使得DFA=60设G为AF上一点，且满足CF平面BDG（）求证：EFDG；（）求证：G为线段AF的中点；（）求线段CG长度的最小值18某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（）写出a的值；（）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（）从阅读时
6、间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率19已知函数f（x）=（）若f（a）=1，求a的值；（）设a0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）f（x1），求a的取值范围20已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F（）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）求证：点Q在直线y=m上；（）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由2016年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选
7、择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设全集U=R，集合A=x|x0，B=x|x1，则集合（UA）B=（）A（，0）B（，0C（1，+）D1，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可【解答】解：集合A=x|x0，=x|x0，B=x|x1，（UA）B=x|x0，故选：B2下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x3Dy=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据反比例函数的单调性，奇函数图象的对称性，指数函数和对数函数的图象，以及奇函数定义，减函数
8、的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：A反比例函数在R上没有单调性，该选项错误；B.，图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；Cy=x3的定义域为R，且（x）3=（x3）；该函数为奇函数；x增大时，x3增大，x3减小，即y减小，该函数在R上单调递减；该选项正确；D对数函数y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误故选C3设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）ABCD1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x+3y得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象
9、可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大，解，即A（，），代入目标函数z=x+3y，得z=+3=故z=x+3y的最大值为故选：B4执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）Ai3Bi4Ci5Di6【考点】程序框图【分析】根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的条件【解答】解：进行循环前i=2，S=1，计算S=，应满足循环条件，i=3；执行循环后S=，应满足循环条件，i=4；执行循环后S=，应满足循环条件，i=5；执行循环后S=，应不满足条件循环条件，输出S=；故判断框内应填入的条件是i5；故选：C5在ABC中，角A，B，C所
10、对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解【解答】解：A+B+C=，sin（A+B）=sinC=，又a=3，c=4，=，即=，sinA=，故选B6“mn0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由“mn0”，知“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”；由“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，知“nm0
11、”所以“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件【解答】解：“mn0”“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”，“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”“nm0”，“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件故选D7某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量煤气费 一月份 4m3 4元 二月份 25m3 14元 三月份35m3 19元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A11.5元B11元C10.5元D10元
12、【考点】函数的值【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（xA），得：，解得，f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A8设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足PMQ=90，则a的取值范围是（）A18，6B65，6+5C16，4D65，6+5【考点】圆的切线方程【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的
13、距离公式得到关于a的不等式求解【解答】解：圆C：（x2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足PMQ=90，在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故2，解得16a4，故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知复数z=（2i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为（3，1）【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，则在复平面内，z对应点的坐标可求【解答】解：z=（2i）（1+i）=3+i，则在复平面内，
14、z对应点的坐标为：（3，1）故答案为：（3，1）10设平面向量，满足|=|=2， （+）=7，则向量，夹角的余弦值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量数量积的运算性质将（+）=7展开得出=3，代入向量的夹角公式计算【解答】解：（+）=7，即4+=7，=3，cos=故答案为：11某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，ADAB、ADBC，AD=AB=2、BC=1，PA底
15、面ABCD，且PA=2，该四棱锥最长棱的棱长为PC=3，故答案为：312设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求，即可得到结论【解答】解：双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，=，即=e21=，则e2=，则e=，设双曲线方程为y2=，0，若点（4，2）在C上，=84=4，即双曲线方程为y2=4，即，故答案为： 13设函数f（x）= 那么ff（）=；若函数y=f（x）k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+）【
16、考点】函数零点的判定定理；函数的值【分析】由分段函数可知f（）=，则ff（）=f（）=，画出分段函数的图象，数形结合得答案【解答】解：由分段函数可知f（）=，ff（）=f（）=；由y=f（x）k=0，得f（x）=k令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是故答案为：；（，+）14在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称
17、此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有5部优秀影片【考点】进行简单的合情推理【分析】记这5部微电影为A1A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量，且A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部【解答】解：记这5部微电影为A1A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量，且A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量A3的点播量，且A3的专家评分A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部以此类
18、推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部故答案为：5三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x（）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（）当x（0，）时，求函数f（x）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简，利用周期公式求得函数的最小正周期（2）根据x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域【解答】解：（）函数f（x）的定义域为x|x+k，kZ，f（x）=（1+tanx）cos2x=cos2x+sinxc
19、osx，=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+，f（x）的最小正周期为T=（）x（0，），2x+，sin（2x+）（，1，f（x）（0，即当x（0，）时，求函数f（x）的值域为（0，16已知数列an的前n项和Sn满足4an3Sn=2，其中nN*（）求证：数列an为等比数列；（）设bn=an4n，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列an成等比数列；（）求出数列an的通项公式，利用累加法即可求出bn的通项公式【解答】（）证明：因为4an3Sn=2，所以当n=1时，4a13S1=2，解得a1=2；当n2时，4an1
20、3Sn1=2，3 分由，得4an4an13（SnSn1）=0，所以an=4an1，由a1=2，得an0，故an是首项为2，公比为4的等比数列（）解：由（），得an=24n1所以bn=an4n=4n14n，则bn的前n项和Tn=（40+41+4n1）4（1+2+3+n）=4=2n22n17如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得DFA=60设G为AF上一点，且满足CF平面BDG（）求证：EFDG；（）求证：G为线段AF的中点；（）求线段CG长度的最小值【考点】直线与平面平行的判定【分析】（）由E，F分别为BC，DA的中点，可证EFFD，E
21、FFA，从而EF平面DFA，即可得证EFDG（）由ABEFCD，易证四边形ABCD为平行四边形连接AC，设ACBD=O，则AO=CO，又由CF平面BDG，利用线面平行的性质可证CFOG，可证OG为中位线，即G为线段AF的中点（）由已知可得DFA为等边三角形，且DGFA，又EFDG，可得DG平面ABEF，设BE的中点为H，连接GH，CH，可得CG2=GH2+CH2，设DF=x，由题意得CG2=（42x）2+（x）2=x216x+16，利用二次函数的图象和性质即可得解线段CG长度的最小值【解答】（本小题满分14分）（）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EFFD，
22、EFFA，又因为FDFA=F，所以EF平面DFA又因为DG平面DFA，所以EFDG（）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以在立体图中，ABEFCD即在立体图中，四边形ABCD为平行四边形连接AC，设ACBD=O，则AO=CO又因为CF平面BDG，CF平面ACF，平面ACF平面BDG=OG，所以CFOG，所以在ACF中，OG为中位线，即G为线段AF的中点（）解：因为G为线段AF的中点，DFA=60所以DFA为等边三角形，且DGFA，又因为EFDG，EFFA=F，所以DG平面ABEF设BE的中点为H，连接GH，CH，易得四边形DGHC为平行四边形，所以CH平面AB
23、EF，所以CG2=GH2+CH2设DF=x，由题意得CH=DG=x，GH=CD=42x，所以CG2=（42x）2+（x）2=x216x+16，所以当x=时，CG2min=所以线段CG长度的最小值为18某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（）写出a的值；（）试估计该校所有学生中，阅读时间不小
24、于30个小时的学生人数；（）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值（）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人（）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的
25、概率【解答】解：（）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）10=1，a=0.03（）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）10=0.25，所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800=450人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）10=0.35，学生人数约有0.351200=420人该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人（）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高
26、中生”为事件A，初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.00510=0.05，样本人数为0.0560=3人高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.00510=0.05，样本人数为0.0540=2人记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2
27、），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），至少抽到1名高中生的概率P（A）=19已知函数f（x）=（）若f（a）=1，求a的值；（）设a0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）f（x1），求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（）问题转化为f（x）不存在最小值，通过讨论a的范围求出函数的单调性，判断函数有无最小值，从而确定a的范围即可【解答】（）解：函数y=f（x）的定义域D=x|xR且xa，由题意，f（a）有意义，所以a0求导，得f（x）=所以f（a）=1，解得：a=（）解：“对于定义域内的任意x1，总存
28、在x2使得f（x2）f（x1），等价于“f（x）不存在最小值” 当a=0时，由f（x）=，得f（x）无最小值，符合题意 当a0时，令f（x）=0，得x=a 或x=3a随着x的变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：x（，3a）3a（3a，a）a（a，+）f（x）0+不存在f（x）极小 不存在所以函数f（x）的单调递减区间为（，3a），（a，+），单调递增区间为（3a，a）因为当xa时，f（x）=0，当xa时，f（x）0，所以f（x）min=f（3a）所以当x1=3a时，不存在x2使得f（x2）f（x1）综上所述，a的取值范围为a020已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m0）的动直
29、线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F（）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）求证：点Q在直线y=m上；（）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（）直接根据抛物线的定义即可求出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m，构造方程组，根据根与系数关系和导数的几何意义得到抛物线在点A，B处的切线方程，得到x=（x1+x2），代入即可证明；（）假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，
30、得EQFQ，AQBQ，根据直线的斜率得到P（0，1），再利用斜率相等验证PEQF为平行四边形即可【解答】（）解：焦点坐标为（0，1），准线方程为Y=1（）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m由方程组 得x24kx4m=0，由题意，得=16k2+16m0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=4m，由抛物线方程x2=4y，得y=x2，所以y=x，所以抛物线在点A处的切线方程为y=x1（xx1），化简，得y=x1x同理，抛物线在点B处的切线方程为y=x2x 联立方程，得x1x=x2x即（x1x2）x=（x1x2）（x1+x2），因为x1x1，所以x=（x1+x2），代入，得y=x1x2=m，所以点Q（x1+x2），m），即Q（2k，m）点Q在直线y=m上（）解：假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，得EQFQ，AQBQkAQkBQ=1， x1x2=1，x1x2=（4m）=1，m=1，P（0，1）下面验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可令y=0，得E（x1，0）同理得F（x2，0）所以直线EP的斜率为kEP=，直线FQ的斜率kFQ=，所以kEP=kFQ，即EPFQ同理PFEQ所以四边形PEQF为平行四边形综上所述，存在点P（0，1），使得四边形PEQF为矩形2016年7月29日
