1、5从力做的功到向量的数量积,1力做的功一个物体在F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为W|F|s|cos ，其中 是F与s的夹角2两个向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，如图，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角范围0180垂直当90时，称向量a与b互相垂直，记作aB规定零向量可与任一向量垂直特例当0时，a与b同向；当180时，a与b反向3.向量的数量积定义已知两个向量a和b，它们的夹角为，把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_特别规定：零向量与任一向量的数量积均为0射影|a|cos_(|b|cos )叫作向量a在b方向上(向量b在a方向上)
2、的射影几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos_的乘积物理意义力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs4.数量积的性质(1)若e是单位向量，则eaae|a|cos_(2)若ab，则ab0；反之，若ab0，则ab.通常记作abab0(a，b为非零向量)(3)a、b同向ab|a|b|；a、b反向ab|a|b|；特别地aaa2或|a|.(4)cos (|a|b|0)(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|.当且仅当ab时等号成立5向量数量积的运算定律已知向量a，b，c与实数，则交换律abba结
3、合律(a)b(ab)a(b)分配律a(bc)abac6.乘法公式成立(ab)(ab)a2b2.(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2等等1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的数量积的运算结果是一个向量()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)若abbc，则一定有ac.()解析：(1)错误向量的数量积是一个数(2)错误向量a与b可能垂直(3)错误向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等答案：(1)(2)(3)2已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在b方向上的投影为()A4B4C2 D2解析：选A.向量a在b方向上的投影为|a|cos 4，故选A.3已知a，b
4、的夹角为，|a|2，|b|3.(1)若135，则ab_；(2)若ab，则ab_.答案：(1)6(2)04已知ABC中，BC4，AC8，C60，则_解析：画图可知向量与的夹角为角C的补角，故|cos(C)4816.答案：161对数量积概念的三点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角(2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成ab，其中“”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握2理解数量积的几何意义要关注的三点(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影
5、是不同的(2)b在a方向上的投影为|b|cos (是a与b的夹角)，也可以写成.(3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零3数量积性质的作用性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据；性质(3)可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；性质(4)可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用；性质(5)反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值但要特别注意该不等式中“”成立的条件4向量数量积与实数积运算律的比较实数a，b，c向量a，b，ca0，ab0b0a0，ab0/ b0ab
6、bc(b0)acabbc(b0)/ ac|ab|a|b|ab|a|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算(1)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4B3C2 D0(2)如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；.【解】(1)选B.因为|a|1，ab1，所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3，故选B.(2)因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所以|cos 03319.因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436.求向量数量积的方法及注意事项(1)方法：分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b夹角的余弦值，然后根据数量积的定义
7、求解(2)注意事项：要牢记数量积的运算公式；要注意确定两个向量的夹角；对于平行向量要注意两向量是同向还是反向(3)求形如(manb)(paqb)的数量积，可以先展开，再求a2、b2、ab. 1.(1)在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16B8C8 D16(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_解析：(1)()()216.(2)因为bc0，所以bta(1t)b0，即tab(1t)b20，又因为|a|b|1，a，b的夹角为60，所以t1t0，所以t2.答案：(1)D(2)2向量模的问题(1)已知向量a与b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_
8、(2)设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，|a|1，则|b|_【解析】(1)因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)(2)因为abc0，所以c(ab)因为(ab)c，所以c(ab)0，所以(ab)(ab)0，所以a2b20，所以|b|a|1.【答案】(1)(2)1本例(2)中，加上条件ab，其他条件不变，求|c|.解：由已知可得c(ab)，而(ab)c，有(ab)(ab)0，所以a2b20
9、，又|a|1，得|b|1，而ab，所以c2(ab)2a22abb22，即|c|.求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等 2.(1)平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|()A. B2C4 D12(2)已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|1，|b|2，|c|3，求|abc|.解：(1)选B.|a2b|2.(
10、2)当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0，所以|abc|a|b|c|6；当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c皆为非零向量设a，b，c所成的角均为，则3360，即120，所以ab|a|b|cos 1201.同理bc3，ca，由|abc|2a2b2c22ab2bc2ca3，故|abc|.综上所述，|abc|6或.向量的夹角与垂直(1)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.B.C. D.(2)已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab).求|b|；当ab时，求向量a与b的夹角的值【解】(1)选C.设a，b的夹角为，因为 a(2ab)，所以 a
11、(2ab)0，所以 2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cos 0.因为 |b|4|a|，所以 2|a|24|a|2cos 0，所以 cos ，所以.(2)因为(ab)(ab)，即a2b2，所以|b|2|a|21，故|b|.因为cos ，又0180，所以45. 求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤(2)注意事项在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值 3.已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)因为|a|2|b|2，所以|a|2，|b
12、|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，所以ab|a|b|cos 1，所以cos ，所以.(2)(a2b)bab2b2123.(3)因为ab与a3b互相垂直，所以(ab)(a3b)a23abba3b20，所以4313740，所以.易错警示因数量积转化不等价致误设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_解析由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得(2te17e2)(e1te2)0，即2te2t2e1e27e1e27te0，因为|e1|2，|e2|1，且e1与e2的夹角为，化简即得：2t21
13、5t70，解得7t.当夹角为时，2te17e2(e1te2)，0，可求得所以所以所求实数t的范围是.答案.(1)解答本题常会出现错误的答案为.原因是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2te17e2)(e1te2)0为锐角或零角；ab0为钝角或平角如本例应排除向量2te17e2与e1te2共线且反向的特殊情形后才等价.1若四边形ABCD满足0，0，则该四边形是()A菱形B矩形C直角梯形 D正方形解析：选B.由0知，所以AB綊CD，所以四边形ABCD是平行四边形因为()()0，所以ADAB，所以四边形ABCD是矩形，故选B.2等边三角形ABC的边长为1，则等于()A0 B1C D解析：
14、选D.由已知|1，所以cos 120cos 120cos 120.3已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_解析：设a，b的夹角为，由(a2b)(ab)6，得a2ab2b26，又|a|1，|b|2，所以ab1，所以cos ，又因为0180，所以60.答案：604已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261.将|a|4，|b|3代入上式求得ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)321
15、3，所以|ab|., A基础达标1已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：选C.因为ab|a|b|cos ，所以14cos 2，即cos .又因为0，所以.2若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模是()A2 B4C6 D12解析：选C.(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672.所以|a|22|a|240.解得|a|6或|a|4(舍去)故选C.3已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为()A B.C D1解析：选B.因为3a2b
16、与ab垂直，所以(3a2b)(ab)0，即3|a|2(23)ab2|b|20.因为ab，|a|2，|b|3，所以ab0，|a|24，|b|29，所以12180，即.4如图，在ABC中，ADAB，|1，则()A2 B.C. D.解析：选D.设|x，则|x，()|cosADBx1.5若向量a，b，c均为单位向量，且ab，则|abc|的最小值为()A.1 B1C.1 D.解析：选A.因为a，b，c均为单位向量，且ab，所以ab0，所以|ab|，所以|abc|ab|c|1.6若四边形ABCD是边长为1的菱形，BAD60，则|_解析：因为四边形ABCD是边长为1的菱形，BAD60，所以DCB60，所以|
17、2|2|221212211 cosDCB3，所以|.答案：7在等腰ABC中，ABAC1，B30，则向量在向量上的投影等于_解析：因为等腰ABC中，ABAC1，B30，所以BAC120，因此向量在向量上的投影为|cos 120.答案：8已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_解析：由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos ，即23400，解得8或5.答案：8或59已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求(1)|ab|；(2)|3a4b|.解：由已知得ab42cos 1
18、204，a2|a|216，b2|b|24.(1)因为|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，所以|ab|2.(2)因为|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)164304，所以|3a4b|4.10设向量a，b满足|a|b|1，|3ab|.(1)求|a3b|的值；(2)求3ab与a3b夹角的正弦值解：(1)由|3ab|得(3ab)25，所以9a26abb25.因为a2|a|21，b2|b|21，所以96ab15，所以ab.所以(a3b)2a26ab9b2169115.所以|a3b|.(2)设3ab与a3b的夹角为.因为(3ab)(a3b)3a28ab3b2
19、31831.所以cos .因为0180，所以sin .所以3ab与a3b夹角的正弦值为.B能力提升11如图，在四边形ABCD中，ABBC，ADDC.若|a，|b，则()Aa2b2 Bb2a2Ca2b2 Dab解析：选B.因为，所以在方向上的投影为|cosCAD|，又，所以在方向上的投影为|cosCAB|.所以()|b2a2.12设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析：根据题意，得.因为，所以04，所以00)(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b的夹角为60，求k的值解：(1)因为|kab|akb|，所以(kab)23(akb)2，且|a|b|1，即k212kab3(1k22kab)，所以ab.因为k210，所以ab0，即a与b不垂直(2)因为a与b的夹角为60，且|a|b|1，所以ab|a|b|cos 60.所以.所以k1.14(选做题)在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0，由2，得，.所以()()22368118.(2)由题意，所以22361818.又6，所以186，所以36.又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.
