1、7.6数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤：(1)当n取第一个值n0(例如n01,2等)时结论正确；(2)假设当nk(kN*，且kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证
2、明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()2.用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1成立时，左边需计算的项是_.答案1aa2解析观察等式左边的特征得到n1时的式子.3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证_.答案nk2时等式成立解析因为假设nk(k2且k为偶数)，故下一个偶数为k2.4.已知f(n)，则f(n)中共有_项，f(2)_.答案n2n1解析从n到n2共有n2n1个数，所以f(n)中共有n2n1项.5.用数学
3、归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_.答案2k解析当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为1k1.左边增加了2k项.题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).思维启迪证明时注意等式两边从nk到nk1时的变化.证明当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；假设当nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2
4、k1)，这就是说当nk1时等式也成立.由可知，对所有nN*等式成立.思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.用数学归纳法证明：对任意的nN*，.证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x，时，f(x).(1)求a的值
5、；(2)设0a1，an1f(an)，nN*，证明：an.思维启迪(1)利用题中条件分别确定a的范围，进而求a；(2)利用数学归纳法证明.(1)解由题意，知f(x)axx2(x)2.又f(x)max，所以f().所以a21.又x，时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明用数学归纳法证明：当n1时，0a1，显然结论成立.因为当x(0，)时，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2时，原不等式也成立.假设当nk(k2，kN*)时，不等式0ak成立.因为f(x)axx2的对称轴为直线x，所以当x(0，时，f(x)为增函数.所以由0ak，得0f(ak)f().于是，0ak1f(a
6、k).所以当nk1时，原不等式也成立.根据，知对任何nN*，不等式an均成立.证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立.(2)假设nk(k2，且kN*)时不等式成立，即(1)(1)(1).则当nk1时，(1)(1)(1)1.当nk1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型三归纳猜想证明例3已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性.思维启迪通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明.(1)解当n1时，由已知得a11，a2a
7、120.a11(a10).当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20).同理可得a3.猜想an(nN*).(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得：ak1(an0).即当nk1时，通项公式也成立.由和，可知对所有nN*，an都成立.思维升华(1)猜想an的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；证明ak1时，ak1的求解过程与a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的
8、辩证关系.(2)“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)，试比较与1的大小，并说明理由.解f(x)x21，且an1f(an1)，an1(an1)21，函数g(x)(x1)21在1，)上单调递增.于是由a11得a2(a11)21221，进而a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a1211
9、1，结论成立；假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1.当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立.由知，对任意nN*，都有an2n1，即1an2n，1()n0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.思维启迪通过计算a2，a3，a4观察规律猜想an，然后用数学归纳法证明.规范解答(1)解a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).4分猜想an(nN*).6分(2)证明易知，n1时，猜想正确.7分
10、假设nk时猜想正确，即ak，9分则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确.13分由知，对于任何nN*，都有an.14分归纳猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立.第三步：假设nk(kn0)时结论成立，证明当nk1时结论也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立.温馨提醒解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证
11、明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综
12、合法、反证法等方法都可以应用.失误与防范1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是_.答案3解析n1时，211,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立.n的第一个取值应是3.2.楼梯共n级，每步只能跨上1级或2级，走完n极楼梯共有f(n)种不同方法，则f(n)，f(n1)，f(n2)的关系为_.答案f(n)f(n1)f(n2)解析走完n级楼梯分为两类.第一类走法：第一步
13、跨一级，此时有f(n1)种走法；第二类走法：第一步跨两级，此时共有f(n2)种走法.3.用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)(nN*)”时，从“nk到nk1”时，左边应增添的式子是_.答案2(2k1)解析左边应增添的式子等于 2(2k1).4.对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，4时，f(n)_(用n表示).答案5(n1)(n2)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2).二、解答题9.用数学
14、归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立.(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nN*有12223242(1)n1n2(1)n1.10.已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nN*时，anan1.证明(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(k
15、N*，k1)时，0ak0，得ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立，根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN*都成立.B组专项能力提升(时间：40分钟)1.某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN*，k1)时，该命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，则下列说法正确的是_.(填序号)当n4时，该命题成立当n6时，该命题成立当n4时，该命题不成立当n6时，该命题不成立答案2.用数学归纳法证明n35n(nN*)能被6整除时，当nk1时，(k1)35(k1)应变形为_.答案k35k3k(k1)63.用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的
16、基础上加上_.答案(k21)(k22)(k23)(k1)2解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.4.已知数列an满足a11，an1an1(nN*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an_.答案解析a11，a2a11，a3a21，a4a31.猜想an.5.已知f(n)1，g(n)，nN*. (1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f
17、(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3).(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明.当n1,2,3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论.解当n1时，即，所以a.(1)当n1时，已证得不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即.则当nk1时，有.因为0，所以当nk1时不等式也成立.由(1)(2)知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25.7.已知ABC的三边长是有理数.(1
18、)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数.证明(1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cos A是有理数.(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数.当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数.假设当nk(k1)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数.当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，及和归纳假设，知cos(k1)A与sin Asin(k1)A都是有理数.即当nk1时，结论成立.结合可知，对任意正整数n，cos nA是有理数.