1、北京市西城区2015 年高三一模试卷数学（理科） 2015.4第卷（选择题 共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。1设集合 A =0，1，集合B =x | x a，若，则实数a的取值范围是（ ）Aa1 Ba1 Ca0 Da0答案：B解析：注意集合中最大元素为1.A2复数z 满足z i = 3 i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C解析： ，所以对应点为（1，3），所以位于第三象限.3在极坐标系中，曲线 = 2cos 是（ ）A过极点的直线 B半径为2 的圆C半于极点对称的图形 D关于极轴对称的图形答案：D解
2、析： 所以图象为圆心为（1,0），半径为1的圆，所以选D.4执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（ ）A4 B5 C6 D7答案：B解析：根据程序循环可知，注意程序跳出的位置即可.5 设函数 f (x)的定义域为R，则“xR，f (x +1) f (x) ”是“函数 f (x)为增函数”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：B解析：函数为增函数显然可推出前一个命题，但是前一个命题并不能推出函数为增函数，6 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 ( )答案：A解析：几何体为正方体切去右后上方的一个角之后
3、得到的几何体.7 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )A2 枝玫瑰的价格高 B3 枝康乃馨的价格高C价格相同 D不确定答案：D解析：设玫瑰价格为x，康乃馨的价格为y，则根据题意有：8 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A(0，a)，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )A(1，3) B(2，4) C（，3）D（，3）答案：D解析：显然，过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一条曲线
4、上 第卷二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9 已知平面向量a , b满足a = (1, 1), (a + b) (a b),那么b.答案：10已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2 = 8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为.答案：11在ABC 中，角 A, B, C所对的边分别为a , b , c ,若则a = .答案：12若数列an满足a1 = 2，且对于任意的m, nN，都有 , 则= ；数列 an 前10 项的和S10 = .答案：68213某种产品的加工需要 A, B, C , D, E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工
5、艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种. （用数字作答）答案：1314如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单调增区间是；最大值为.答案：三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13 分）设函数（）当， 时，求函数 f (x)的值域；（）已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离16（本小题满分13 分）2014 年12 月28 日开始，北京市公
6、共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返
7、过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围（只需写出结论）17（本小题满分14 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，EFAD ，平面 ADEF 平面 ABCD，且BC = 2EF ， AE = AF ，点G 是EF 的中点。（1）证明： AG 平面ABCD 。（2）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长。（3）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG平面ABF ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。18（本小题满分13 分）设nN*，函数，函数，x(0，+)，（1）当n =1时，写出函数 y = f (x)
8、1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧，求n的所有可能取值。19（本小题满分14 分）设F 1 ，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P（1，） 在椭圆E 上，且点P 和F1 关于点C（0，） 对称。（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A，B两点，过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。20（本小题满分13 分）已知点列 (kN*，k2)满足P 1（1，1），中有且只有一个成立写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；证明：对于任意给定的k (kN*，k2)，不存在点列T ，使得；当k = 2n 1且 时，求 的最大值
