1、第八章第四节一、选择题1下列命题中正确的个数是()若直线a不在内,则a;若直线l上有无数个点不在平面内,则l;若直线l与平面平行,则l与内的任意一条直线都平行;若l与平面平行,则l与内任何一条直线都没有公共点;平行于同一平面的两直线可以相交A1B2C3D4答案B解析aA时,a,故错;直线l与相交时,l上有无数个点不在内,故错;l时,内的直线与l平行或异面,故错;l,l与无公共点,所以l与内任一条直线都无公共点,正确;长方体中的相交直线A1C1与B1D1都与面ABCD平行,所以正确2下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的序号是
2、()ABCD答案B解析由平面ABC平面MNP,可得AB平面MNP.由ABCD,CDNP,得ABNP,所以AB平面MNP.3若有直线m、n和平面、,下列四个命题中,正确的是()A若m,n,则mnB若m,n,m,n,则C若,m,则mD若,m,m,则m答案D解析如图(1),m,n,有m,n,但m与n可以相交,故A错;如图(2),mnl,l,有m,n,故B错;如图(3),l,m,ml,故C错D选项证明如下:设交线为l,在内作nl,则n,m,mn,n,m,m.4(文)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A若m,n,则mnB若m,m,则C若mn,m,则nD若m,则m答案C解析若m,n,则m与n可
3、能平行、相交或异面,A错误;若m,m,则与可能平行也可能相交,B错误;若mn,m,则由线面垂直的性质定理可得n,C正确;若m,则m可能在内可能平行,也可能垂直,D错误(理)设l为直线,是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l,l,则B若l,l,则C若b,l,则D若,l,则l答案B解析本题考查了空间线面关系若m,lm,l,l,则A错垂直于同一直线的两平面平行,B正确当l,l时,C错,若,l,则l与关系不确定,D错5(2015聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线,、表示两个不同的平面,则下列命题中不正确的是()AcBbcCcDb答案D解析由a,b可得b与的位置关系有:b,b,b与相交,所以
4、D不正确6(文)设m,n是平面内的两条不同直线;l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是()Am且l1Bml1且nl2Cm且nDm且nl2答案B解析本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识易知选项A、C、D推不出,只有B可推出,且不一定推出B,B项为的一个充分而不必要条件,选B(理)如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45答案C解析截面PQMN为正方形,PQMN,PQ平面DAC又平面ABC平面ADCAC,PQ平面ABC,PQAC,同理可证QMBD故选项A
5、、B、D正确,C错误二、填空题7(文)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C、M、D1作正方体的截面,则截面的面积是_答案解析由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为.(理)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于_答案解析本题考查线面平行由EF平面AB1C,EF平面ABCD,平面ABCD平面AB1CAC,知EFAC所以由E是中点知EFAC.8(文)在四面体ABCD中,M、N分别是面ACD,BCD的重心,则四面体的四个面中与
6、MN平行的是_答案平面ABC与平面ABD解析连BN延长交CD于点E,连AM并延长也与CD交于E点(因为E为CD中点),又,故MNAB所以MN平面ABC且MN平面ABD(理)过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条答案6解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条9已知平面m,直线n,n,则直线m、n的位置关系是_答案mn解析在内取点Am,则点A与n确定一平面,且A同理可
7、作平面且Bn,n,na,nBaBa,b,a.a,m,am,nm.三、解答题10(2014安徽高考)如图,四棱锥PABCD的底面边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明: GHEF;(2)若EB2,求四边形GEFH的面积解析BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFHGH,GHBC同理可证EFBC,GHEF.(2)连接AC,BD交于一点O,BC交EF于K,连接OP、GK.因为PAPC,O是AC的中点,所以POAC,同理可证POBD,又BDACO,且AC,BD都在底面内,PO
8、平面ABCD,又平面GEFH平面ABCD,PO平面GEFH,PO平面GEFH.又平面GEFH平面PBDGK,POGK,且GK平面ABCD,GKEF,所以GK是梯形GEFH的高AB8,EB2,EBABKBDB14,KBDBOB,即K为OB的中点,又POGK,GKPO,即G是PB的中点,且GHBC4.又由已知得OB4,PO6.GK3.四边形GEFH的面积SGK318.一、选择题1(文)设m,l是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是()A若lm,m,则lB若l,lm,则mC若l,m,则lmD若l,m,则lm答案B解析两平行线中一条垂直于一个平面,另一条边垂直于这个平面,故选B(理)已知两条
9、互不重合的直线m、n,两个互不重合的平面、,给出下列命题:若m,n,且mn,则;若m,n,且mn,则;若m,n,且mn,则;若m,n,且mn,则.其中正确命题的个数为()A0B1C2D3分析本题考查线面的位置关系虽然是一道单选题,但更似一道多选题,对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果答案B解析命题是正确的;命题不正确,很容易找到反例;命题也不正确,可以构造出的情形;命题也不正确,可以构造出的情形2(文)已知两条直线m、n,两个平面、.给出下面四个命题:mn,mn;,m,nmn;mn,mn;,mn,mn.其中正确命题的序号是()ABCD答案C解析两条平行线中一条垂直于一个平面,则另
10、一条也垂直于这个平面,故正确;两平面平行,分别在这两平面内的两直线可能平行,也可能异面,故错;mn,m时,n或n,故错;由,m得m,由m,nm得n,故正确(理)已知平面平面,l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()AABmBACmCABDAC答案D解析m,m,l,ml.ABl,ABm.故A一定正确ACl,ml,ACm,从而B一定正确A,ABl,l,B.AB,l.AB.故C也正确ACl,当点C在平面内时,AC成立,当点C不在平面内时,AC不成立,故D不一定正确二、填空题3已知a,b,c为三条不重合的直线,为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给
11、出六个命题:ab;ab;a;a.其中正确的命题是_(将正确命题的序号都填上)答案解析中a,b的位置可能相交、平行、异面;中、的位置可能相交4(文)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件_时,有平面D1BQ平面PAO.答案Q为CC1的中点解析当Q为CC1的中点时,QBPA又D1B平面PAO,QB平面PAO,所以D1B平面PAO.QB平面PAO,又D1BQBB,所以平面D1BQ平面PAO.(理)如图所示,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,并且AC平面EFGH,BD平面EFGH,ACm,BDn,
12、当EFGH是菱形时,AEEB_.答案mn解析如图所示,设AEa,EBb,由EFAC可得EF.同理EH.EFEH,于是.三、解答题5(文)如图,若PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:AF平面PCE解析取PC的中点M,连接ME、MF,则FMCD且FMCD又AECD且AECD,FM綊AE,即四边形AFME是平行四边形AFME,又AF平面PCE,EM平面PCE,AF平面PCE.(理)如图,已知,异面直线AB,CD和平面,分别交于A,B,C,D四点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点求证:(1)E,F,G,H共面;(2)平面EFGH平面.解析(1)E
13、,H分别是AB,DA的中点,EH綊BD同理,FG綊BD,FG綊EH.四边形EFGH是平行四边形,E,F,G,H共面(2)平面ABD和平面有一个公共点A,设两平面交于过点A的直线AD.,ADBD又BDEH,EHBDAD.EH平面,同理,EF平面,又EHEFE,EH平面EFGH,EF平面EFGH,平面EFGH平面.6如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O底面ABCD,ABAA1.(1)证明:平面A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积解析(1)由题设知,BB1綊DD1,BB1D1D是平行四边形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC,A1BCD1是平行四边形,A1BD1C又A1B平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1BB,平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1,AA1,A1O1.又SABD1,V三棱柱ABDA1B1D1SABDA1O1.