1、2 微积分基本定理1函数的原函数如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，通常称F(x)是f(x)的一个原函数2微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则有f(x)dxF(b)F(a)定理中的式子称为牛顿莱布尼茨公式也可写作f(x)dxF(x)|F(b)F(a)注意(1)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与求导数互为逆运算，这也是计算定积分的重要方法(2)若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)C(C为常数)也是f(x)的原函数，随着常数C的变化，f(x)有无穷多个原函数，一般只写一个最简单的即可3. f(x)dx、
2、|f(x)|dx、在几何意义上有不同的含义，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间a，b上可正可负，也就是它的图像可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，所以f(x)dx表示由x轴，函数f(x)的曲线及直线xa，xb(ab)围成的图形各部分面积的代数和；而|f(x)|是非负的，所以|f(x)|dx表示在区间a，b上所有以|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积；而则是f(x)dx的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常
3、取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()答案：(1)(2)(3) 计算dx()AB1C D0解析：选B.因为sin22sincoscos21sin x，所以dx (1sin x)dxx(cos x) 1. 若(2xk)dx2k，则实数k的值为()A. BC1 D0解析：选A.因为 (2xk)dx2k，所以x2kx2k，所以1k2k，所以k. 若(2x1)dx8，则a_解析：因为(2x1)dx8，所以(x2x)|8，所以(a2a)(a2a)8，所以a4.答案：41应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与
4、导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)再计算F(b)F(a)(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分2常见函数的牛顿莱布尼茨公式(1) CdxCx|(C为常数)(2) xndxxn1|(n1)(3) sin xdxcos x|.(4) cos xdxsin x|.(5) dxln x|(ba0)(6) exdxex|.(7) cxdx|(c0且c1) 3被积函数为分段函数或绝对值函数时的处理方法求
5、分段函数和绝对值函数的积分时，要分段去积和去掉绝对值符号去积处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分的性质，必须熟记在心示例：(1) dx；(2)f(x)求f(x)在0，2上的定积分 对于第(1)题，当x1时，x；当0x时，x，故可把(1)中绝对值符号去掉，分成两段来积，即dxdxdx；对于第(2)题，由定积分的性质得f(x)dxx2dxxdx. 用微积分基本定理计算定积分计算下列定积分：(1) (x22x3)dx；(2) (cos xex)dx；(3) dx；(4) sin2dx.【解】(1) (x22x3)dxx2dx2xdx3dx|x2|3x|.(2) (cos xex)dxco
6、s xdxexdxsin x|ex|1.(3)由于yx2ln x的导函数是yx，根据微积分基本定理可得dxln 2.(4)sin2，而cos x，所以sin2dxdx.由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数F(x)的增量F(b)F(a) 1.求下列定积分的值：(1) (2x2)2dx；(2) dx；(3) cosdx.解：(1)因为(x22)2x44x24，又x44x24，所以(2x2)2dx(x44x24)dx|.(2)因为xx，又xx
7、，所以dx(xx)dx|424.(3)因为coscos xsin x，所以cos dxdxcos xdxsin xdxsin xcos xsin0.求分段函数的定积分(1)若f(x)求f(x)dx；(2)计算定积分|32x|dx.【解】(1) f(x)dxx2dx(cos x1)dx，又因为x2，(sin xx)cos x1，所以原式x3|(sin xx) (sin 00).(2)|32x|dx(32x)dx (2x3)dx(3xx2) (x23x) .分段函数的定积分的求法(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界
8、点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论 2.(1)计算：e|x|dx.(2)已知函数f(x)先画出函数图像，再求这个函数在区间0，4上的定积分解：(1)e|x|dxexdxexdxex|ex|e0e1e1e02e2.(2)函数f(x)的图像如图所示f(x)dxsin xdx1dx(x1)dx(cos x) x|1(40)7.微积分基本定理的综合应用已知x(0，1，f(x)(12x2t)dt，求f(x)的值域【解】(12x2t)dt(12x)tt2|22x，即f(x)2x2，因为x(0，1，所以f(1)f(x)f(0)，即0f(x)2，所以函数f(x)的值域
9、是0，2) 在本例中，如果已知条件改为f(t)(12x2t)dx，试求f(t)解：f(t)(12x2t)dx(12t)xx2|2t.含有参数的定积分问题的处理方法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式等数学知识综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提 (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与原函数F(x)等概念 3.(1)已知(x2mx)dx0，则实数m的值为()ABC1 D2(2)若函数f(x)ax2bxc(a0)且f(1)4，f(1)1，f(x)dx3，求函数f(x)的解析式解：(1)选B.根
10、据题意有(x2mx)dx|m0，解得m.(2)由题意知f(1)abc4，f(1)2ab1，又由f(x)dx(ax2bxc)dx3知c3.联立，解得a1，b3，c2，所以函数f(x)的解析式为f(x)x23x2.思想方法利用函数的奇偶性巧解定积分已知函数f(x)求f(x)dx的值【解】因为f(x)为偶函数，所以f(x)dx2(x22x1)dx2|2.奇、偶函数在区间a，a上的定积分（1）若奇函数yf（x）的图像在a，a上连续，则f（x）dx0.（2）若偶函数yg（x）的图像在a，a上连续，则g（x）dx2g（x）dx.1. dx等于()A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选D.
11、dxln x|ln 4ln 2ln 2.2. |sin x|dx等于()A0 B2C4 D4解析：选C. |sin x|dxsin xdx(sin x)dx(cos x)|cos x|1(1)1(1)4.3若dx3ln 2，则a的值是_解析：dx(x2ln x)|(a2ln a)(1ln 1)(a21)ln a3ln 2.所以所以a2.答案：2 A基础达标1下列定积分的值等于1的是()A. xdxB. (x1)dxC. 1dx D. dx解析：选C. xdxx2|， (x1)dx|，1dxx|1，dxx|.2设f(x)则f(x)dx()A. B.C. D不存在解析：选C. f(x)dxx2dx
12、 (2x)dxx3|.3. d的值为()A BC D解析：选D. dcos dsin ，故选D.4已知函数f(a)sin xdx，则f等于()A1 B1cos 1C0 Dcos 11解析：选B.fsin xdxcos x1，ff(1)sin xdxcos x|1cos 1.5若(xa)dxcos 2xdx，则a()A1 B1C2 D4解析：选C.(xa)dx|a，cos 2xdxsin 2x，所以a，解得a2，故选C.6若dx3ln 2，则正数a的值为_解析：dx(x2ln x)|a2ln a13ln 2，所以a213，ln aln 2，得a2.答案：27已知2(kx1)dx4，则实数k的取值
13、范围为_解析：(kx1)dx|(2k2)k1，所以2k14，解得k2.答案：8设f(x)kxb，若f(x)dx2，f(x)dx3.则f(x)的解析式为_解析：由(kxb)dx2，得2，即kb2，由(kxb)dx3，得3，即(2k2b)3.所以kb3，由联立解得，k1，b，所以f(x)x.答案：f(x)x9设f(x)ax2bxc(a0)，f(1)4，f(1)1，f(x)dx，求f(x)解：因为f(1)4，所以abc4，f(x)2axb，因为f(1)1，所以2ab1，f(x)dx|abc，由可得a1，b3，c2，所以f(x)x23x2.10计算(|2x3|32x|)dx.解：设y|2x3|32x|
14、则(|2x3|32x|)dx (4x)dx6dx4xdx(2x2) 6x2x22(2)(3)266232245.B能力提升11已知f(a)(2ax2a2x)dx，则函数f(a)的最大值为()A. B.C D解析：选B.f(a)(2ax2a2x)dx|a2a，由二次函数的性质，可得f(a)max.12若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx_解析：因为f(x)dx是常数，所以f(x)2x，所以可设f(x)x2c(c为常数)，所以x2cx22|，解得c，f(x)dx (x2c)dxdx|.答案：13已知(x3ax3ab)dx2a6且f(t)(x3ax3ab)dx为偶函数，求a，b.解：因为f(
15、x)x3ax是奇函数，所以(x3ax)dx0，所以(x3ax3ab)dx(x3ax)dx(3ab)dx0(3ab)1(1)6a2b，所以6a2b2a6，即2ab3.又f(t)(x3ax3ab)dx|(3ab)t为偶函数，所以3ab0.由得a3，b9.14(选做题)已知f(x)是f(x)在(0，)上的导函数，满足xf(x)2f(x)，且x2f(x)ln xdx1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x0时，证明不等式2ln xex22.解：(1)由xf(x)2f(x)得x2f(x)2xf(x)，即x2f(x)，所以x2f(x)ln xc(c为常数)，即x2f(x)ln xc.又x2f(x)ln xdx1，即cdx1，所以cx|1，即2cc1，所以c1.所以x2f(x)ln x1，所以f(x).(2)证明：由第一问知f(x)(x0)，所以f(x)，当f(x)0时，xe，f(x)0时，0xe，f(x)e，所以f(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减所以f(x)maxf(e)，所以f(x)，即2ln xex22.
