1、第2讲 矩阵与变换1 正如矩阵A，向量.求向量，使得A2.解 A2设，由A2，得解得.2在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2y21在矩阵A对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程解设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P(x0，y0)则有 ，即又点P在椭圆上，故4xy1，从而xy1.曲线F的方程是x2y21.3已知矩阵M，N，且MN.(1)求实数a、b、c、d的值；(2)求直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程解(1)由题设得：解得(2)矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，可取直线y3x上的两点(0,0)，(1,3)，由 ， ，得点
2、(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(2,2)从而，直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为yx.4若点A(2,2)在矩阵M对应变换的作用下得到的点为B(2,2)，求矩阵M的逆矩阵解由题意，知M，即，解得M.由M1M，解得M1.5已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为a1，属于特征值24的一个特征向量为a2，求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa11a1，即1，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵A.6已知矩阵M，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量解由矩阵M的特征多项式f()(3)210，解得12，24，即为矩
3、阵M的特征值设矩阵M的特征向量为，当12时，由M2，可得可令x1，得y1，1是M的属于12的特征向量当24时，由M4，可得取x1，得y1，2是M的属于24的特征向量7求曲线C：xy1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C1的方程解设P(x0，y0)为曲线C：xy1上的任意一点，它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x，y)由 ，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy1上，所以x0y01.所以1，即x2y24.所以所求曲线C1的方程为x2y24.8已知矩阵A，B，求(AB)1.解AB .设(AB)1，则由(AB)(AB)1，得 ，即，所以解得故(AB)1.9设矩阵M(其中a0，b0)(1)若a2，
4、b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a、b的值解(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.又M. .2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则 ，即又点P(x，y)在曲线C上，y21.则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，10已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针
5、旋转90.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.(2)求点A，B，C，D在TM作用下所得到的结果解 (1)关于x轴的反射变换矩阵为M1，逆时针旋转90的变换矩阵为M2故MM2M1.(2)A：，即A(0，0)B：，即B(0，3)C：，即C(2，2)D：，即D(2，1)11已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程解(1)设M，则 8，故因 ，故联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.(2
6、)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵M的另一个特征向量是e2，则Me22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x，y)，则，即xxy，yxy，代入直线l的方程后并化简得xy20，即xy20.12已知矩阵A，A的一个特征值2，其对应的特征向量是1.(1)求矩阵A；(2)若向量，计算A5的值解(1)A.(2)矩阵A的特征多项式为f()2560，得12，23，当12时，1，当23时，得2.由m1n2，得解得m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.13设矩阵M(其中a0，b0)若a2，b3，求M的逆矩阵M1；若曲线C：x2y21，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值解 设M1，则MM1又M，.2x11，2y10，3x20，3y21.即x，y10，x20，y2.M1.设C上任一点P(x，y)，在M作用下得点P(x，y)，则，来源 ，又点P(x，y)在C上，所以y21.即b2y21为曲线C的方程又C的方程为x2y21，又a0，b0，所以