1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。12空间向量在立体几何中的应用12.1空间中的点、直线与空间向量必备知识自主学习导思1.空间中点的位置向量是如何定义的?2.空间中直线的方向向量是怎样定义的?空间中两直线的位置关系与其方向向量有何关系?1.空间中点的位置向量如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量.空间直角坐标系中的点的位置向量是由什么确定的？提示：空间直角坐标系中的点的位置向量由它的坐标唯一确定2空间中直线的方向向量(1)定义：一般地，如果l
2、是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量此时，也称向量v与直线l平行，记作vl.(2)性质：若A，B是直线l上的任意的不同两点，非零向量v是直线l的一个方向向量，则：1是直线l的一个方向向量2对任意实数0，v是直线l的一个方向向量3存在唯一的实数，使v空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？提示：不唯一，都平行3空间中两条直线的位置关系与空间向量(1)如果非零向量v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1，l2所成角的大小为，点Al1，Bl2，则平行v1v2l1l2或l1，l2重合夹角v1，v2
3、或v1，v2垂直l1l2v1，v2v1v20异面v1，v2，不共面l1，l2异面(2)公垂线段：如果l1与l2是空间中两条异面直线，Ml1，Nl2，MNl1，MNl2，则称MN为l1与l2的公垂线段1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)空间一条直线的方向向量是唯一的()(2)若向量v是直线l的一个方向向量，则向量kv也是直线l的一个方向向量()(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()提示：(1).空间中一条直线存在无数条方向向量(2).当k0时可以(3).两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补2(教材例题改编)若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是
4、120，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A150 B120 C60 D30【解析】选C.由异面直线所成角的定义可知，l1与l2所成的角为18012060.3直线l1的方向向量为v1(1，0，1)，直线l2的方向向量为v2(2，0，2)，则直线l1与l2的位置关系是_【解析】因为v1v2(1，0，1)(2，0，2)0，所以v1v2，所以l1l2.答案：垂直关键能力合作学习类型一空间中点的位置向量与直线的方向向量的确定(逻辑推理)1设d1与d2都是直线l的方向向量，则下列关于d1与d2的叙述正确的是()Ad1d2Bd1与d2同向Cd1d2Dd1与d2有相同的位置向量2若A(1，0，1)，
5、B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1，2，3) B(1，3，2)C(2，1，3) D(3，2，1)3点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()A(0，0，2) B(0，0，3)C(0，0，) D(0，0，1)【解析】1.选C.根据直线的方向向量的定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量因此直线l的方向向量都应该是共线的2选A.由题意可得：直线l的一个方向向量(2，4，6)，又因为(1，2，3)(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量3选B.设M(0，0，z)，P(t，t，t)是
6、直线l上任一点，令MPs，则s0，由于(t，t，tz)，因此tttz0，即z3t，而|MP|，即，由以上两式解得t1，z3或t1，z3，因此M的坐标为(0，0，3)或(0，0，3).解决位置向量、方向向量的方法转换法：转化为向量共线、向量相等、向量的坐标运算解决【补偿训练】已知两点A(1，2，3)，B(2，1，1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是_【解析】设交点坐标为P(x，0，z)，则由A，P，B三点共线可设，得(x1，2，z3)(1，3，4)，即解得故AB连线与xOz平面的交点坐标是.答案：类型二空间中两条直线所成的角(逻辑推理、数学运算)【典例】如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，
7、ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点，求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值四步内容理解题意条件：直三棱柱中，ABAC，ABAC2，AA14；点D是BC的中点结论：异面直线A1B与C1D所成角的余弦值思路探求以， 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，求出，利用向量的夹角公式求解即可书写表达以，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则由题意知A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)，所以cos ，书写表达所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.注意：合理建系，正确
8、写出坐标；向量的夹角与异面直线夹角的区别题后反思两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，直线的方向向量的夹角与相等或互补求两条异面直线所成角常用的方法向量法即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线所成的角.定义法(平移法)由两条异面直线所成角的定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解.求解的方法是解三角形.已知三棱锥OABC(如图)，OA4，OB5，OC3，AOBBOC60，COA90，M，N分别是棱OA，BC的中点求直线MN与AC所成角的余弦值【解析】设a，b，c，直线MN与AC所成的角为，则(bc)a(bca)，ca，所以|2(bca)2(|a|2|b|2|
9、c|22bc2ab2ac)(42523215200)，|2(ca)2|a|2|c|22ac4232025，(bca)(ca)(bc|c|2ab2ac|a|2).cos |cos ，|.所以直线MN与AC所成角的余弦值为.类型三空间中直线的位置关系问题(直观想象、逻辑推理)角度1平行或异面问题【典例】如图，已知正方体ABCDABCD，点M，N分别是面对角线AB与面对角线AC的中点求证：MNAD.【思路导引】可利用基向量法，也可利用坐标法【证明】方法一：基向量法设a，b，c，则(ac)，c(ab)，所以(bc).又因为bc，所以，所以，因为M不在平面ADDA内，所以MNAD.方法二：坐标法建立如图
10、所示坐标系，设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，D(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，所以(0，2，2)，(0，1，1)，所以，所以，因为M不在平面ADDA内，所以MNAD.(1)本例条件不变，证明MN与CD不平行(2)本例条件不变，证明MN与CD是异面直线【证明】建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则C(2，2，0)，D(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，所以(2，0，2)，(0，1，1)，(1)不存在R，使，所以与不平行，故MN与CD不平行(2)(1，1，0)，设，则(0，1，1)，所以，即，无解所以不存在这样的，值，使.故，不共面，所以MN与CD是
11、异面直线角度2垂直问题【典例】如图，在四面体SABC中，E，F，G，H，M，N分别是棱SA，BC，AB，SC，AC，SB的中点，且EFGHMN，求证：SABC，SBAC，SCAB.【思路导引】本题是一个证明线线垂直的问题，可以取SA，SB，SC对应的向量为基向量，将SA，BC，SB，AC，SC，AB这六个线段对应的向量用基向量表示出来，利用数量积为0证明线线垂直【证明】设r1，r2，r3，则r1，(r2r3)，(r1r2)，r3，(r1r3)，r2.所以，；因为EFGHMN，所以展开得r1r2r2r3r1r3，所以r1(r2r3)0，因为r10，r2r30，所以r1(r2r3)，即SABC，同
12、理可证SBAC，SCAB.利用坐标法证明两直线的位置关系(1)证明两直线平行一般转化为证明两直线的方向向量共线(2)证明两直线异面一般转化为证明两直线的方向向量与两直线上两点连线的方向向量不共面(3)证明两直线垂直一般转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.1若ABC中，C90，A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k)，则k的值为()A B C2 D【解析】选D.因为A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k)，所以(3，2，k)，(6，1，2k)，因为ABC中C90，所以(3，2，k)(6，1，2k)1822k20，解得k.2如图，在长方
13、体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQRS.【证明】如图，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)，因为AP2PA1，所以2，即(0，0，2)，所以P，同理可得，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S，所以，所以，因为RPQ，所以PQRS.3在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点求证：(1)ACBC1；(2)AC1与B1D不平行
14、【证明】在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D.(1)因为(3，0，0)，(0，4，4)，所以0.所以所以ACBC1.(2)因为，又，所以，不平行，故AC1与B1D不平行【补偿训练】正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点，证明：(1)BD1AC；(2)BD1EB1.【证明】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设
15、正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1).(1) (1，1，1)，(1，1，0)，所以(1)(1)(1)1100，所以，所以BD1AC.(2)(1，1，1)，所以(1)(1)110，所以，所以BD1EB1.课堂检测素养达标1若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A BC D【解析】选A.因为(1，2，3)，所以(1，2，3)，所以是直线l的一个方向向量2(教材练习改编)若直线l1，l2的方向向量分别为v1(1，2，3)，v2，则l1，l2的位置关系是()A垂直 B重合C平行 D平行或重合【解析】选D.因为直
16、线l1，l2的方向向量分别为v1(1，2，3)，v2，所以v12v2，所以l1，l2平行或重合3已知直线l1的方向向量m(2，m，1)，l2的方向向量n，且l2l1，则m()A8 B8 C1 D1【解析】选B.因为直线l1的方向向量m(2，m，1)，l2的方向向量n，且l2l1，所以mn2m20，解得m8.4设O为坐标原点，(1，1，2)，(3，2，8)，则线段AB的中点P的坐标为_【解析】.答案：5如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角为_【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，设正方体的棱长为1，则，cos ，0，所以，.答案：关闭Word文档返回原板块