1、广东省深圳外国语学校2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知i为虚数单位，则复数（）AiBiCiDi2从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A所取的3个球中至少有一个白球B所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C所取的3个球都是黑球D所取的3个球中恰有1个白球2个黑球3已知，是平面，m，n是直线下列命题中不正确的是（）A若mn，m，则nB若m，n，则mnC若m，m，则D若m，m，则4古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直
2、径恰好与圆柱的高相等据说阿基米德对这个图最引以为自豪在该图中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A2：1B：2C3：2D4：35为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是（）A32人B27人C24人D33人6九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马若四棱锥PABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，AB2，AD4，二面角PBCA为60，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为（）A16B20CD327已知O
3、为正三角形ABC内一点，且满足+（1+），若OAB的面积与OAC的面积比值为3，则的值为（）AB1C2D38已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（）ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知复数z满足z（2i）i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）ABC复数z的实部为1D复数z对应复平面上的点在第二象限10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（）AA：B：Ca：b：cBC若s
4、inAsinB，则ABD若sin2Asin2B，则ab11如图，在三棱锥PABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA平面ABC，ABC90，ABPA6，BC8，则（）A点P与点B到平面DEF的距离相等B直线PB与直线DF垂直C三棱锥DBEF的体积为18D平面DEF截三棱锥PABC所得的截面面积为1212八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|1，则下列结论正确的有（）AB+CD在向量上的投影为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若向量，与共线，则实数k 14一组数6，5，4，3，3，3，2，2，
5、2，1的80%分位数为 15某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 16如图，在棱长为2的正方体中ABCDA1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求
6、实数k的取值范围18如图，ABC中，ACBCAB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（1）求证：GF平面ABC；（2）求证：BC平面ACD；（3）求BD和平面ACD所成角的大小，19在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：潜伏期（单位：天）0，2（2，4（4，6（6，8（8，10（10，12（12，14人数60岁及以上258752160岁以下0224921（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人
7、数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率20cosB22sincos，bsinCccosB，（b+a）（ba）c2ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a4，cb，_，（1）求B；（2）求ABC的面积21某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球小球除编号不同外，其余均相同活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的
8、小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖现某顾客依次有放回的抽奖两次（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率22如图，正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且AEBFx（1）当x为何值时，三棱锥B1BEF的体积最大？（2）求三棱锥B1BEF的体积最大时，二面角B1EFB的正切值；（3）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知i为虚数单位，则复数（）AiBiCiDi【分析】直接利用复数
9、代数形式的乘除运算化简得答案解：故选：A2从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A所取的3个球中至少有一个白球B所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C所取的3个球都是黑球D所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【分析】事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，由此能求出与事件A互斥的事件解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，与事件A互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球故选：B3已知，是平面，m，n是直线下列命
10、题中不正确的是（）A若mn，m，则nB若m，n，则mnC若m，m，则D若m，m，则【分析】A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；B，若m，n，则mn或异面，；C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；D，根据面面垂直的判定；解：对于A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；对于B，若m，n，则mn或异面，故错；对于C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；对于D，根据面面垂直的判定，可D正确；故选：B4古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等据说阿基米德对这个图最引以为自豪在该图中
11、，圆柱的体积与球的体积之比为（）A2：1B：2C3：2D4：3【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果解：由题意，圆柱底面半径r球的半径R，圆柱的高h2R，则V球R3，V柱r2hR22R2R3故选：C5为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是（）A32人B27人C24人D33人【分析】根据题意可得该班六个分数段的概率比例依次为2：3：5：6：3：1，进而得到成绩在（80，90）与（9
12、0，100）之间的学生人数的概率，即可得到答案解：由题意可得：从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，所以（60，70），（70，80），（80，90），（90，100），（100，110），（110，120）各分数段的概率之比为2：3：5：6：3：1，所以该班学生数学成绩在（80，90）与（90，100）之间的学生人数的概率分别为：所以该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是：6033故选：D6九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马若四棱锥PABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，AB2，AD4，二面角PBCA为60，则四棱锥PAB
13、CD的外接球的表面积为（）A16B20CD32【分析】由题意可得PBA为二面角PBCA是60，进而由题意可得PA的长度，再由题意可得四棱锥PABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，有长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积【解答】解因为底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，所以PABC，ABBC，而PAABA，所以BC面PAB，所以BCPB，所以PBA为面角PBCA为60，即PBA60，在PAB中，PAABtan6022，由题意可得四棱锥PABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，设外接球的半径为R，则2R
14、，所以四棱锥PABCD的外接球的表面积S4R232，故选：D7已知O为正三角形ABC内一点，且满足+（1+），若OAB的面积与OAC的面积比值为3，则的值为（）AB1C2D3【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到，由可得O分DE所成的比，从而得出的值解：，变为如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知故在正三角形ABC中，且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，故，由得故选：A8已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
15、a2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（）ABCD【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，进而表示出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可解：已知等式a2bsinA利用正弦定理化简得：sinA2sinBsinA，sinA0，sinB，B为锐角，B30，即A+C150，cosA+sinCcosA+sin（150A）cosA+cosA+sinAcosA+sinA（cosA+sinA）sin（
16、A+60），60A90，120A+60150，sin（A+60），即sin（A+60），则cosA+sinC的取值范围是（，）故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知复数z满足z（2i）i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）ABC复数z的实部为1D复数z对应复平面上的点在第二象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案解：由z（2i）i，得z，|z|，故A错误；，故B正确；复数z的实部为，故C错误；复数z对应复平面上的点的坐标为（，）
17、，在第二象限，故D正确故选：BD10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（）AA：B：Ca：b：cBC若sinAsinB，则ABD若sin2Asin2B，则ab【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解解：对于A，若A，B，C，可得A：B：C：3：2：1，由正弦定理，可得a：b：csinA：sinB：sinC1：2：1，则A：B：Ca：b：c，故A错误；对于B，由正弦定理，可得右边2R左边，故B正确；对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinAsinBabAB，因此，在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件，故C正确；对于D，由sin2As
18、in2B，可得AB，或2A+2B，即AB，或A+B，所以：ab，或a2+b2c2，故D错误；故选：BC11如图，在三棱锥PABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA平面ABC，ABC90，ABPA6，BC8，则（）A点P与点B到平面DEF的距离相等B直线PB与直线DF垂直C三棱锥DBEF的体积为18D平面DEF截三棱锥PABC所得的截面面积为12【分析】取PB的中点M，连接DM，FM，证明平面DEF即为平面MDEF，即可判断选项A，假设直线PB与直线DF垂直，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理进行推理，即可判断选项B，利用锥体的体积公式进行求解，即可判断选项C，由截面为四边形D
19、EFM是矩形，求解面积即可判断选项D解：对于A，取PB的中点M，连接DM，FM，因为M、D、E、F分别为棱PB、PC、AC、AB的中点，所以DMBC，EFBC，MFPA，DEPA，故MFDE，EFMD，则平面DEF即为平面MDEF，故直线PB与平面MDEF相交于点M，且M为PB的中点，所以点P与点B到平面DEF的距离相等，故选项A正确；对于B，假设直线PB与直线DF垂直，因为PA平面ABC，BC平面ABC，故PABC，又BCAB，PAABA，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB，又PB平面PAB，则BCPB，因为EFBC，则EFPB，又PBDF，且EFDFF，EF，DF平面DEF，则PB平
20、面DEF，这与AB平面DEF矛盾，所以假设不成立，则直线PB与直线DF不垂直，故选项B错误；对于C，因为D，E分别为PC，AC的中点，则PADE且DE，又PA平面ABC，则DE平面ABC，又EF4，BF3，所以，故选项C错误；对于D，由选项A，可知平面DEF截三棱锥PABC所得的截面为四边形DEFM，因为ABC90，则四边形DEFM为矩形，则，所以S四边形DEFM2SDEF12，故选项D正确故选：AD12八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|1，则下列结论正确的有（）AB+CD在向量上的投影为【分析】直接利用向量的数量积的
21、应用，向量的夹角的应用求出结果解：图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|1，对于A：11cos；故正确对于B：，故正确对于C：|，|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立故错误对于D：在向量上的投影|cos|，|1，故错误故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若向量，与共线，则实数k【分析】利用向量坐标运算法则，求出与，再由向量共线的性质列方程，能求出k解：，与共线，4k（2k1）0，解得故答案为：14一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为 4.5【分析】因为1080%8，将数据从小到大排序第8个数据和第9个数据的平均数为第80%分位数解：将
22、数据从小到大排序：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，共10个数据因为1080%8，所以第8个数据和第9个数据的平均数为第80%分位数，为故答案为：4.515某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）P（B），p（A+B）P（A）+P（B）P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通
23、知信息的概率解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A），P（B），甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）P（A）+P（B）P（A）P（B）故选：16如图，在棱长为2的正方体中ABCDA1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是【分析】取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，利用面面平行的判定定理可证得面B1DN面A1BM，从而确定点P在线段DN上运动；连接CP、C1P，则C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，
24、而tanC1PC，于是求出线段CP的取值范围即可得解解：如图所示，取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，则B1NA1M，DNBM，B1NDNN，B1N、DN面B1DN，A1MBMM，A1M、BM面A1BM，面B1DN面A1BM，B1P平面A1BM，且点P在底面ABCD上，点P在线段DN上运动连接CP、C1P，则C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，tanC1PC在RtCDN中，当点P与点D重合时，CP最长为2；当CPDN时，CP最短为，即CP，tanC1PC1，故答案为：1，四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知向量，（1）若，求的值；（2）
25、若，求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围【分析】（1）利用向量平行的性质求出k6，由此能求出的值（2）利用向量垂直的性质能求出实数k（3）由与的夹角是钝角，得到且与不共线由此能求出实数k的取值范围解：（1）因为向量，且，所以1k2（3）0，解得k6，所以（2）因为，且，所以1（5）+2（2+2k）0，解得，（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线即1（3）+2k0且k6，所以且k618如图，ABC中，ACBCAB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（1）求证：GF平面ABC；（2）求证：BC平面ACD；（3）求BD和平面ACD所
26、成角的大小，【分析】（1）取BE的中点H，连接HF，GH通过证明平面HGF平面ABC然后说明GF平面ABC；（2）由已知得ADAB，结合平面ABED平面ABC，可得AD平面ABC，进一步得到ADBC，再由勾股定理证得ACBC，即可得到BC平面ACD；（3）由（2）可知BDC为BD和平面ACD所成的角，求解三角形得答案【解答】（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GHG，F分别是EC和BD的中点，HGBC，HFDE又四边形ADEB为正方形，DEAB，从而HFABBC平面ABC，HG平面ABC，HG平面ABC，同理HF平面ABC，又HGHFH，平面HGF平面ABC，则GF平面ABC；（2）证
27、明：ADEB为正方形，ADAB又平面ABED平面ABC，且平面ABED平面ABCAB，AD平面ABC，则ADBC，ACBCAB，AB1，则CA2+CB2AB2，得ACBC又ADACA，BC平面ACD；（3）解：由（2）知，BC平面ACD，BDC为BD和平面ACD所成的角，在RtBCD中，BC，BD，sin，可得BDC30，即BD和平面ACD所成角的大小为3019在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：潜伏期（单位：天）0，2（2，4（4，6（6，
28、8（8，10（10，12（12，14人数60岁及以上258752160岁以下0224921（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率【分析】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，由此能求出该地区A病毒患者中，60岁以下的人数（2）利用频数分布表能求出50名患者的平均潜伏期（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在1012天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六
29、人中抽取两人，利用列举法能求出这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率解：（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人；（2）50名患者的平均潜伏期为：（天）；（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在1012天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人包括15个基本事件，分别为：1，2；1，3； 1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，所以这两人中恰好一人潜
30、伏期超过12天的概率20cosB22sincos，bsinCccosB，（b+a）（ba）c2ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a4，cb，_，（1）求B；（2）求ABC的面积【分析】（1）若选，利用两角和的正弦公式可求sin（B+）1，进而可得B的值；若选，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值；若选，利用余弦定理可得cosB，进而可求B；（2）由正弦定理可求sinC，可得C或，进而分类讨论利用三角形的面积公式即可求解解：（1）若选，cosB22sincos，可得cosB+sinB
31、2，可得：sin（B+）1，因为B（0，），可得B+（，），可得B+，可得B；若选，bsinCccosB，由正弦定理可得sinBsinCsinCcosB，因为sinC0，可得sinBcosB，即tanB，因为B（0，），可得B；若选，因为（b+a）（ba）c2ac，可得c2+a2b2ac，可得cosB，因为B（0，），可得B；（2）结合（1）因为cb，利用正弦定理可得，所以sinC，所以C或，当C时，A，因为a4，所以b2，c2，可得：SABCbc222，当C时，A，所以AB，又因为a4，所以b4，SABCabsinC44421某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与
32、抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球小球除编号不同外，其余均相同活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖现某顾客依次有放回的抽奖两次（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率【分析】（1）先列举所有的结果，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，根据概率公式计算即可，（2）分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率，再根据概率公式计算即可解：（1）该顾客有放回的抽奖两次的
33、所有的结果如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有25种，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，两次都没有中奖的概率为P（2）两次抽奖奖金之和为20元的情况有：第一次获奖20元，第二次没有获奖，其结果有（3，1），（3，5），故概率为P1，两次获奖10元，其结果有（2，2），（2，4），（
34、4，2），（4，4），故概率为P2，第一次没有中奖，第二次获奖20元，其结果有（1，3），（5，3），故概率为P3，所求概率PP1+P2+P322如图，正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且AEBFx（1）当x为何值时，三棱锥B1BEF的体积最大？（2）求三棱锥B1BEF的体积最大时，二面角B1EFB的正切值；（3）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围【分析】（1）求出体积的表面积，利用二次函数的最值求解即可（2）取EF中点O，E，F为AB，BC中点时，三棱锥B1BEF的体积最大说明B1OB就是二面角B1EFB的平面角然后求解二面角B1EFB的正切值即
35、可（3）说明HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角推出，然后求解角的范围即可解：（1）因为正方体ABCDA1B1C1D1，所以BB1平面ABCD所以，当时，三棱锥B1BEF的体积最大 （2）取EF中点O，由（1）知，E，F为AB，BC中点时，三棱锥B1BEF的体积最大所以BEBF，B1EB1F，因此BOEF，B1OEF，所以B1OB就是二面角B1EFB的平面角 在RtBEF中，在RtBB1O中，三棱锥B1BEF的体积最大时，二面角B1EFB的正切值为 （3）在AD上取点H使AHBFAE，则在正方形ABCD中，HFAB，HFAB，因为，ABA1B1，ABA1B1，所以HFA1B1，HFA1B1，所以A1HB1F，所以HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角 在RtA1AH中，在RtA1AE中，在RtHAE中，在HA1E中，因为0xa，所以a2x2+a22a2，所以，所以，所以所以异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围为
