1、2020-2021学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设向量，则（ ）A11B9C7D52sin330（）A. B. C. D. 3在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数（）A2+iB2iC1+2iD12i4某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A12cm3B15cm3C36cm3D45cm35函数f（x）cos22xsin22x的最小正周期是（）ABC2D46若sin0.4，则符合条件的角有（）A1个B2个C3个D4个7函数f（x）Asin（x+）（其中A0，
2、0，0）的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A. B. C D. 8向量与的夹角为（ ）A30B40C60D909在ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则ab是sinAsinB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10已知单位向量，满足，若非零向量，其中，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分25分，将答案填在答题纸上）11设复数，则|z| 12已知半径为r的球的表面积为36cm2，那么半径为2r的球的表面积为 cm213在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则A 14已知向量，满足，那么 15设函
3、数f（x）sinx，g（x）x2x+1，有以下四个结论函数yf（x）+g（x）是周期函数；函数yf（x）g（x）的图像是轴对称图形；函数yf（x）g（x）的图像关于坐标原点对称；函数存在最大值其中，所有正确结论的序号是 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16已知（）求tan的值；（）求sin2的值17如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，ADBC，BAD90，ACBD，且ABAD2，AA11（）求三棱锥B1ABD的体积；（）求证：BC平面ADD1A1；（）求证：ACB1D18在中，.（1）求的面积；（2）求的值.19已知函数同时满足
4、下列三个条件中的二个：f（0）2；最大值为2；最小正周期为（）求出所有可能的函数f（x），并说明理由；（）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间20如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA12，E为AA1的中点，O为BD1的中点（）求证：平面A1BD1平面ABB1A1；（）求证：EO平面ABCD；（）设P为正方体ABCDA1B1C1D1棱上一点，给出满足条件的点P的个数，并说明理由21设函数f（x）的定义域为R若存在常数T，A（T0，A0），使得对于任意xR，f（x+T）Af（x）成立，则称函数f（x）具有性质P（）判断函数yx和ycosx具有性质P？（结论不要求证明）（）若函数f（
5、x）具有性质P，且其对应的T，A2已知当x（0，时，f（x）sinx，求函数f（x）在区间，0上的最大值；（）若函数g（x）具有性质P，且直线xm为其图像的一条对称轴，证明：g（x）为周期函数参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1设向量，则（）A11B9C7D5解：向量，则3+85故选：D2sin330（）ABCD解：sin330sin（270+60）cos60故选：B3在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数（）A2+iB2iC1+2iD12i解：由图可知，点Z对应的复数z2+i，则，故选：B4某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A12cm
6、3B15cm3C36cm3D45cm3解：圆锥的母线长l5cm，底面半径长r3cm，所以圆锥的高h4（cm），所以该圆锥的体积为Vr2h32412（cm）3故选：A5函数f（x）cos22xsin22x的最小正周期是（）ABC2D4解：因为f（x）cos22xsin22xcos4x，所以f（x）的最小正周期T，故选：A6若sin0.4，则符合条件的角有（）A1个B2个C3个D4个解：利用正弦函数ysinx，的图象，和函数y0.4的图象，所以这两个函数的图象有3个交点，如图所示：故满足条件的角有3个故选：C7函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，0）的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式
7、是（）ABCD解：由图象得函数f（x）的最小正周期为T4（62）16，所以；由图象的最高点为（2，3），得A3，且f（2）3，即，由0，解得故选：C8向量与的夹角为（）A30B40C60D90解：根据题意，设两个向量的夹角为，向量与，则|1，|1，cos50cos10+sin50sin10cos40，则coscos40，又由0180，故两个向量的夹角为40，故选：B9在ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则ab是sinAsinB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：在三角形中，若ab，由正弦定理，得sinAsinB若sinAsinB，则正弦定理，得ab
8、，所以，ab是sinAsinB的充要条件故选：C10已知单位向量，满足，若非零向量x+y，其中x，yR，则的最大值为（）ABCD解：因为单位向量，满足，所以，设（1，0），（，），所以x+yx（1，0）+y（，（x，y），所以|，所以当x0时，0，当x0时，令t，则1t+t2（t）2+，所以，所以的最大值为故选：D二、填空题（每题3分，满分25分，将答案填在答题纸上）11设复数，则|z|解：因为z，所以|z|，故答案为：12已知半径为r的球的表面积为36cm2，那么半径为2r的球的表面积为 144cm2解：由题意，4r236，解得r3，那么半径为2r的球的表面积为462144cm2，故答案为：
9、14413在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则A解：因为，所以由正弦定理可得sinAsinBsinB，因为sinB0，所以sinA，又A为锐角，所以A故答案为：14已知向量，满足，那么解：向量，满足，（+）+160，16，故答案为：15设函数f（x）sinx，g（x）x2x+1，有以下四个结论函数yf（x）+g（x）是周期函数；函数yf（x）g（x）的图像是轴对称图形；函数yf（x）g（x）的图像关于坐标原点对称；函数存在最大值其中，所有正确结论的序号是 解：对于：因为函数f（x）sinx是周期函数，但是g（x）x2x+1不是周期函数，所以yf（x）+g（x）不是周期函数
10、，故不正确；对于：因为函数f（x）sinx对称轴为x+k，kZ，所以x是f（x）的一条对称轴，因为g（x）x2x+1（x）2+，对称轴为x，所以yf（x）g（x）的对称轴为x，故正确；对于：因为函数f（x）sinx是关于原点对称，但是g（x）x2x+1不关于原点对称，所以yf（x）g（x）不是关于原点对称，故不正确；对于：y，f（x）sinx，当x时，f（x）max1，因为g（x）x2x+1（x）2+，则g（x）ming（），所以y有最大值为，故正确故答案为：三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16已知（）求tan的值；（）求sin2的值解：（），tan2（
11、）sin217如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，ADBC，BAD90，ACBD，且ABAD2，AA11（）求三棱锥B1ABD的体积；（）求证：BC平面ADD1A1；（）求证：ACB1D【解答】（）（）证明：因为ADBC，BC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以BC平面ADD1A1（）证明：因为BB1底面ABCD，AC底面ABCD，所以BB1AC又因为ACBD，BB1BDB，所以AC平面BB1D又因为B1D平面BB1D，所以ACB1D18在ABC中，AB4，AC3，（）求ABC的面积；（）求的值解：（）在ABC中，由余弦定理可知：cosC，解得：BC2或BC（
12、舍），又cosC，0C，sinC，SABCBCACsinC23；（）在ABC中，由正弦定理可得：，则sinB，BCACAB，B为锐角，cosB0，cosB，|cosB4319已知函数同时满足下列三个条件中的二个：f（0）2；最大值为2；最小正周期为（）求出所有可能的函数f（x），并说明理由；（）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间解：（I）；若选，则，无解，f（x）不存在；若选，则，解得m1，2，；若选，则，解得m0，2，（II）若，令，所以增区间为若，其增区间与相同，为20如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA12，E为AA1的中点，O为BD1的中点（）求证：平面A1BD1平面
13、ABB1A1；（）求证：EO平面ABCD；（）设P为正方体ABCDA1B1C1D1棱上一点，给出满足条件OP的点P的个数，并说明理由【解答】（）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1平面ABB1A1，A1D1平面A1BD1，平面A1BD1平面ABB1A1（）证明：连接BD，AC，设BDACG，连接0GABCDA1B1C1D1为正方体，AEDD1，且AEDD1，且G是BD的中点，又因为O是BD1的中点，OGDD1，且OGDD1，OGAE，且OGAE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OEAG，又EO平面ABCD，AG平面ABCD，所以EO平面ABCD（）解：满足条件OP的点P有12个
14、理由如下：因为 ABCDA1B1C1D1为正方体，AA12，所以 AC2所以 OEAGAC在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为 AA1平面ABCD，AG平面ABCD，所以 AA1AG，又因为 EOAG，所以 AA1OE，则点O到棱AA1的距离为，所以在棱AA1上有且只有一个点（即中点E）到点O的距离等于，同理，正方体ABCDA1B1C1D1每条棱的中点到点的距离都等于，所以在正方体ABCDA1B1C1D1棱上使得OP的点P有12个21设函数f（x）的定义域为R若存在常数T，A（T0，A0），使得对于任意xR，f（x+T）Af（x）成立，则称函数f（x）具有性质P（）判断函数yx和ycosx
15、具有性质P？（结论不要求证明）（）若函数f（x）具有性质P，且其对应的T，A2已知当x（0，时，f（x）sinx，求函数f（x）在区间，0上的最大值；（）若函数g（x）具有性质P，且直线xm为其图像的一条对称轴，证明：g（x）为周期函数解：（）函数yx不具有性质P；函数ycosx具有性质P（）设x（，0，则x+（0，由题意，得f（x+）2f（x）sin（x+），所以当f（x）sinx，x（，0由f（+）2f（），f（0+）2f（0），得f（）f（）0所以当x，0时，f（x）sinx故当x时，f（x）在区间，0上有最大值（）证明：当g（x）0，xR时，结论显然成立；下面考虑g（x）不恒等于0的情况，即存在x0，使得g（x0）0，由于直线xm为函数g（x）图象的一条对称轴，所以g（2mx0）g（x0）0，由题意，存在T0，A0，（T00，A00），使得g（x+T0）A0g（x0）成立，所以g（2mx0）A0g（2mx0T0），即g（2mx0T0）g（x0），由直线xm是函数g（x）图像的一条对称轴，得g（2mx0T0）g（x0+T0），又因为g（x0+T0）A0g（x0），g（x0）0，所以g（x0）A0g（x0），即A01，故对于任意xR，g（x+T0）g（x）成立，其中T00综上，g（x）为周期函数
