1、学案53抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想自主梳理1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)距离_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下自我检测1(2010四川)抛物线y28x的焦
2、点到准线的距离是()A1 B2 C4 D82若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2 C4 D43(2011陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x4已知抛物线y22px (p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|5(2011佛山模拟)已知抛物线方程为y22px (p0)，过该抛物线焦点F且不与x
3、轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么MFN必是()A锐角 B直角C钝角 D以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标变式迁移1已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)探究点二求抛物线的标准方程例2(2011芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距
4、离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程变式迁移2根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)过点P(2，4)探究点三抛物线的几何性质例3过抛物线y22px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2p2；(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BCx轴变式迁移3已知AB是抛物线y22px (p0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)求证：(1)x1x2；(2)为定值分类讨论思想的应用例(12分)过抛物线y22px (p0)焦点F的直线交抛物线于A、B两
5、点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数，使？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出.【答题模板】解假设存在实数，使.抛物线方程为y22px (p0)，则F，准线l：x，(1)当直线AB的斜率不存在，即ABx轴时，交点A、B坐标不妨设为：A，B.BDl，D，存在1使.4分(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk (k0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D，x1，x2，由得ky22pykp20，y1y2p2，y2，8分(x1，y1)，假设存在实数，使，则
6、，解得，存在实数，使.综上所述，存在实数，使.12分【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出和的坐标，判断是否存在【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足1关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线2关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系
7、数的符号决定抛物线的开口方向3关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛例如：已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|x1x2p或|AB|(为AB的倾斜角)，y1y2p2，x1x2等(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011大纲全国)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB等于()A. B.C D2(2011湖北)将两个顶点在抛物线y22px
8、(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()An0 Bn1Cn2 Dn33已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不确定4(2011泉州月考)已知点A(2,1)，y24x的焦点是F，P是y24x上的点，为使|PA|PF|取得最小值，则P点的坐标是()A. B(2,2)C. D(2，2)5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，) B(1，2)C(1,2) D(2，)二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011重庆)设圆C位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域
9、(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_7(2011济宁期末)已知A、B是抛物线x24y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|_.8(2010浙江)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_三、解答题(共38分)9(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x1所得的弦长为，求抛物线方程10(12分)(2011韶关模拟)已知抛物线C：x28y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ.11(14分)(2011济南模拟)已知定点F
10、(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值学案53抛物线自主梳理1相等焦点准线自我检测1C2B因为抛物线的准线方程为x2，所以2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x.所以选B.3B4.C5.B课堂活动区例1解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|P
11、A|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P坐标为(2,2)变式迁移1A点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|PQ|PS|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是1，点P的坐标为.例2解题导引(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，
12、要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用解方法一设抛物线方程为x22py (p0)，则焦点为F，准线方程为y.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.方法二如图所示，设抛物线方程为x22py (p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N.则|MN|MF|5，而|MN|3，35，p4.抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m2(8)(3)，得m2.变式迁移2解(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px (p0)且3，p6.方程为y212x.(2)
13、由于P(2，4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2mx (m0)或x2ny (n0)为例)：y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p.证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为F.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为yk，由消去x，得ky22pykp20.(*)当k0时，方程(*)只有一解，k0，由韦达定理，得y1y2p2；当斜率不存在时，得两交点坐标为，y1y2p2.综合两种情况，总有y1y2p2.方法二由抛物线方程可得焦点F，设直线AB的方程为xky，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐
14、标满足消去x，可得y22p，整理，得y22pkyp20，y1y2p2.(2)直线AC的方程为yx，点C坐标为，yC.点A(x1，y1)在抛物线上，y2px1.又由(1)知，y1y2p2，yCy2，BCx轴变式迁移3证明(1)y22px (p0)的焦点F，设直线方程为yk (k0)，由，消去x，得ky22pykp20.y1y2p2，x1x2，当k不存在时，直线方程为x，这时x1x2.因此，x1x2恒成立(2).又x1x2，代入上式得常数，所以为定值课后练习区1D方法一由得或令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3.cosAFB.方法二由方
15、法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，(3,4)，(0，2)，|5，|2.cosAFB.2C如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(，0)，设A(m，)(m0)，则由抛物线定义，|AF|AA1|，即m|AF|.又|AF|AB|2，m2，整理，得m27pm0，(7p)2448p20，方程有两相异实根，记为m1，m2，且m1m27p0，m1m20，m10，m20，n2.3C4A过P作PKl (l为抛物线的准线)于K，则|PF|PK|，|PA|PF|PA|PK|.当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y1代入y24x，得x，即当P点的坐标为时
16、，|PA|PF|最小5B6.1解析如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a0)，则，消去y得，4x2(2p4)x10，x1x2，x1x2，(4分)|AB|x1x2|，(7分)则 ，p24p120，解得p6(p2舍去)，抛物线方程为y212x.(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y22px (p0)，仿(1)不难求出p2，此时抛物线方程为y24x.(11分)综上可得，所求的抛物线方程为y24x或y212x.(12分)10证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得x28kx16
17、0，x1x28k，x1x216.(4分)抛物线方程为yx2，求导得yx.(7分)所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.(10分)所以AQBQ.(12分)11解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x24y.(5分)(2)由题意直线l2的方程为ykx1，与抛物线方程联立消去y得x24kx40.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.(8分)因为直线PQ的斜率k0，易得点R的坐标为.(9分)(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448，(11分)k22，当且仅当k21时取到等号42816，即的最小值为16. (14分)
