1、天津市南开中学2021届高三数学上学期第三次月考试题（含解析）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. B分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为，故选：B2. 下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是（ ）A. yB. yC. yD. yA分析：画出每个函数图象，即得解.解答：y，y，y，y，它们的图象如图所示:由图象知，只有y在(0，)上单调递增故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3. 函数，图象大致为（ ） A. B. C. D. D分析：根据函数的奇偶性
2、和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4. 已知公差不为0的等差数列的首项，若，成等比数列，则的前5项之和为（ ）A. B. C. D. D分析：首先根据题意得到，解得，再计算即可.解答：根据题意，成等比数列，即，则有，解可得或（舍，则的前5项之和.故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前项和，同时考查了等比中项，属于简单题.5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. B分析：分别判断，和，再
3、代入计算，可得.解答：因为，所以；又因为，所以；又，所以，所以.故选：B.点拨：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确；当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“”或“”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小6. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 或D分析
4、：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得的值.解答：在椭圆中，由已知可得，解得.若椭圆的焦点在轴上，可得，解得；若椭圆的焦点在轴上，可得，解得.因此，或.故选：D.7. 以下命题正确的是（ ）A. 命题“任意，”的否定为“存在，”B. 设等比数列的前n项和为，则“”是“公比”的充要条件C. 若对于任意实数，有，则向量，不共线D. “直线与平行”是直线与垂直”充分非必要条件D分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A选项；举反例判断B选项；若对于任意实数，非零向量满足，则向量，不共线，C错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k的值，然后判断两命题之间的关系.解答：
5、命题“任意，”的否定为“存在，”，A错误；，当，n为奇数时有，B错误；若，为零向量，对于任意实数，有，但共线，C错误；两直线平行则，解得或1，当时两直线重合不满足条件，所以；由两直线垂直可得，解得或1. 所以“直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件，D正确.故选：D8. 已知函数.给出下列结论：的最小正周期为；点是曲线的对称中心；把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. B分析：本题首先可通过周期计算公式得出正确，然后求出曲线的对称中心即可判断出错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出正确.解答：函数的最小正周期
6、，正确；：，即，则曲线的对称中心为，点不是曲线的对称中心，错误；：函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，因为，所以正确，故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数向左平移个单位，得到，然后横坐标缩小倍，得到，再然后向上平移个单位，可以得到，考查推理能力，是中档题.9. 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. D分析：先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,联立,可得,由，得，结合函
7、数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. i是虚数单位，纯虚数z满足，则实数m的值为_.2分析：利用复数的除法运算将复数z整理为的形式，再根据z为纯虚数则实部为零求解m.解答：为纯虚数，解得.故答案为：211. 在的展开式中，常数项是_.60分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解.解答：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的二项展开式中，常数项为.故答案为：12. 已知点和圆C：，则P
8、在圆C_(填内外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为_. (1). 外 (2). 分析：根据点P距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径.解答：，P在圆C外，设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为，即，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为.故答案为：外；13. 已知向量和的夹角为，则的值为_.分析：由已知求得，又由，求得， ，从而利用，代入可求得答案解答：因为，所以，又，所以，又向量和的夹角为，所以，得，所以，故答案为：14. 已知，且，则的最小值为_.分析：利用换元法，设，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出解答：设，所以故，当且仅当时取等号，即时
9、取等号故答案为：点拨：本题解题关键是通过换元法设，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解15. 已知.设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为_.分析：欲利用单调性求值域，确定将，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围.解答：（1）当时，的值域为，则恒成立，故成立（2）当时，当，单调递减，故此时.当时，当时，单调递增；当时，单调递减当时，在上单调递增. 此时的值域为，恒成立当时，在时，取得最小值当时，则恒成立当时，.此时若即时，此时不符合题意故，恒成立，（3）当时，时，为单调递增的一次函数，.时在上为增函数，值域为要有意义
10、，则此时，.,故因此，恒成立综上所述，故答案：点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.三解答题：本大题共5个小题，共75分.16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（1）求角C的大小；（2）求的值；（3）求的值.（1）；（2）；（3）.分析：（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求解即可.（3）首先
11、计算，从而得到，再计算的值即可.解答：（1）由余弦定理，得，又因为，所以.（2）由（1），有，由正弦定理，得.（3）解：由，知A为锐角，故，进而，所以.17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，.（1）设点M为棱的中点，求证：平面；（2）求异面直线和所成角的余弦值；（3）棱SB上是否存在点N，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明从而证明线面平行；（2）求出向量、的坐标，代入即可求解；（3）设，用表示出点N的坐标，求出平面SBC、平面ANC的法向量，由题意知则，即可带入坐标求
12、得从而求得.解答：（1）证明：以点A为坐标原点，向量，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，.设点P为中点，则有，又因为平面，平面，所以平面.（2）由，得.所以，异面直线和所成角的余弦值为.（3）由（1）中知，设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得，易知分别为平面ABCD、平面ABS的法向量，平面ABCD与平面SBC不垂直，平面ABS与平面SBC不垂直，所以点N不在棱SB的端点处，依题意，设，()，可得.设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得.由题意知，则，解得.此时，.18. 设数列是公比为正整数的等比数列，满足，.设数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求证：数列是等差
13、数列，并求的通项公式；（3）记，.求证：.（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析.分析：（1）由，解得首项和公比可得答案；（2）由，可得进而求得答案；（3），用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列的公比为q，有解得所以.（2）证明： ，又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，进而，.（3）由（1）、（2）知，所以，所以.点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19. 已知椭圆C：()的离心率，且点在椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右
14、顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线与y轴交于点D，点E是y轴上一点，满足，直线与椭圆C交于点G.若的面积为，求直线的方程.（1）；（2）.分析：（1）由离心率及过的点和之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得的坐标，由题意得点的坐标，再由题意得的坐标，表示出面积，求得的值，得到直线的方程.解答：（1）由已知，有，解得，所以椭圆C的方程为；（2）由（1）知，.设直线的方程为()，其与椭圆C的交点满足方程组消去y得到，解得.在直线的方程中，令，解得，即得.设，由题意，有，解得.进而得到直线的方程为，其与椭圆C的交点满足方程组消去x得到，解得，进而.
15、由上述过程可得，点G到直线的距离为.因此，化简得，解得，所以直线的方程为.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20. 已知函数，.（1）若，求函数的最大值；（2）若，（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；（ii）设，为方程()的解，求证：.（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.分析：（1）当时，求导.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数的最大值.（2）（i）记.设切点，求得过点P处的切线
16、方程为.由已知解得，代入可得其切线方程；（ii）构造函数，求导，令，求导得，可得单调递增.又由，得出单调性，从而可得证.解答：解：（1）当时，.当时，有，则单调递增；当时，有，则单调递减.因此，存在极大值，也即函数的最大值，所以函数的最大值为.（2）（i）记.取曲线上一点，则P处的切线方程为.由题意，有，即，变形后得到方程.记函数，由，知为增函数，故.将其代入切线方程， 故所求切线方程.（ii）构造函数，则，令，则.有，故单调递增.又，因此当时，单调递减；当时，单调递增.所以，.由题意，.不妨设，由前述知，即.所以.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.
