1、第一章77.3 A级基础巩固一、选择题1如果两个球的体积之比为827，那么两个球的表面积之比为(C)A827B23C49D29解析设这两个球的半径分别是r，R，则，所以.则两个球的表面积之比为()22圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是(D)A65B54 C43D32解析设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，则圆柱的表面积为2R22R2R6R2，球的表面积为4R2，所以圆柱的表面积与球的表面积的比是6R24R2323直径为6的球的表面积和体积分别是(D)A144，144B144，36C36，144D36，36解析球的半径为3，S球43236V球33
2、364正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为(A)A27BC36D解析S正54，边长a3,2R3，S球4R2(2R)2(3)2275正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(A)AB16 C9D解析本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积运算设球的半径是r，根据题意可得(4r)2()2r2，解得r，所以球的表面积是S4r24()26球面上四点P、A、B、C，已知PA、PB、PC两两垂直，且PAPBPCa，则球的表面积为(B)A2a2B3a2 C4a2D6a2解析可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径
3、有a2R，Ra，S4R23a2二、填空题7有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为_2a2_解析气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径ra，则表面积为4r24(a)22a28已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_解析本题考查球的表面积计算结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解如图设球O半径为R，则BHR，OH，截面圆半径设为r，则r2，r1，即HC1，由勾股定理得R2()21，R2，S球4R2三、解答题9正方体
4、的全面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积解析设正方体的棱长为a，则6a224，a2，正方体内切球的直径等于其棱长，2r2，r1，故内切球的体积V内r3外接球的直径等于正方体的对角线长，2Ra，R，故外接球的体积V外R3()3410一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间解析(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h8(cm)(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，由OCDACO1得，解得r3圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即V锥V球62833963660(cm
5、3)B级素养提升一、选择题1已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(C)A36B64 C144D256解析如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOBR2RR336，故R6，则球O的表面积为S4R2144，故选C2如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是(A)A17B18 C20D28解析由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故r3，所以r2，表面积S4r2r
6、217，选A二、填空题3(2017天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_解析设正方体的棱长为a，则6a218，a设球的半径为R，则由题意知2R3，R故球的体积VR3()34已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_解析本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力依据题意画出示意图：设球半径R，圆锥底面半径r，则r24R2，即r2R2，在RtOO1C中，由OC2OOO1C2得OO1R所以，高的比为.三、解答
7、题5体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小解析设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S16a2，S24R2，S36r2由题意知，R3a3r22r，Ra，ra，S2424a2a2，S3626a2a2，S23a2a2，即S1S3S1、S2、S3的大小关系是S2S3r)由已知，得，得R3r3(Rr)(R2Rrr2)9，R2Rrr23，(Rr)23Rr3，得Rr2，(Rr)2(Rr)24Rr1，Rr1.故大球半径与小球半径之差为17设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积解析如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO平面BCD于O，连接BO.在RtAOB中，AB1，BO，所以AO设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1AORR，O1BR，BO，在RtO1OB中，O1B2OB2OO，即R222，解得R所以球的表面积为S4R2
