1、第42练坐标系与参数方程题型分析高考展望高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识常考题型精析题型一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长点评(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等
2、价性变式训练1(2014广东改编)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标题型二参数方程与普通方程的互化例2(2015福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值点评(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参
3、方法常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围变式训练2(2014福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为 (为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围题型三极坐标、参数方程及其应用例3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于
4、点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值点评(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用变式训练3(2015陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标高考题型精练1(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径2(
5、2014安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积4(2015湖南)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐
6、标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求MAMB的值5(2014辽宁)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程6在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos ，(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l和曲线C相切，求实数k
7、的值7(2014课标全国)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，0，(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标8在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PAPB.答案精析第42练坐标系与参数方程常考题型精析例1解cos()cos cos si
8、n sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即线段AB的长为16.变式训练1解因为xcos ，ysin ，由sin2cos ，得2sin2cos ，所以曲线C1的普通方程为y2x.由sin 1，得曲线C2的普通方程为y1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)例2解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.(2)依题意，圆心C
9、到直线l的距离等于2，即2，解得m32.变式训练2解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.例3解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以AB|2sin 2cos |4.当时，AB取得最大值，最大值为4.变式训练3解(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(
10、y)23.(2)设P，又C(0，)，则PC ，故当t0时，PC取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)高考题型精练1解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.2解直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.3解(1)因为xcos
11、，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即MN.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.4解(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入式，得t25t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，MAMB|t1t2|18.5解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由x21y1得x2()21，即
12、曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1(x)，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.6解(1)由，得直线l的普通方程为ykx1，由sin24cos 得2sin24cos ，y24x，曲线C的直角坐标方程为y24x.(2)把ykx1代入y24x，得k2x2(2k4)x10，当直线l与曲线C相切时，由(2k4)24k20，得k1.经检验k1适合题意，所求实数k1.7解(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t
13、)(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为(1cos ，sin )，即(，)8解方法一(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3t)2(t)25，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得PAPB|t1|t2|t1t23.方法二(1)同方法一(2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r，直线l的普通方程为yx3.由得x23x20.解得或不妨设A(1,2)，B(2,1)，又点P的坐标为(3，)，故PAPB3.
