1、8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1.空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下
2、与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.3.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135).(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x轴、y轴.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直
3、观图中仍平行于z轴且长度不变.4.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()(5)圆柱的侧面展开图是矩形.
4、()(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.()2.(2013四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3.(2013课标全国)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3答案A解析作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE2，AECE4， 设DEx，故AD2x，因为AD2AE2DE2，解得x3，故该球的半径AD5，所以VR3.4
5、.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为_.答案解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为的三角形，所以原三角形的面积为.5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_.答案解析侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1，h，V1.题型一空间几何体的结构特征例1(1)下列说法正确的是 ()A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上
6、各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3思维启迪从多面体、旋转体的定义入手，可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征.答案(1)B(2)A解析(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明PAB，PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点.(2)不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各
7、面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.思维升华(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.(2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋转轴是哪条直线.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方
8、体盒子中，ABC的值为()A.30B.45C.60D.90答案C解析还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得ABC是正三 角形，则ABC60.题型二空间几何体的三视图和直观图例2(1)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它 的直观图的面积是_.思维启迪(1)由正视图和侧视图可知该几何体的高是1，由体积是可求出底面积.由底面积的大小可判断其俯视图是哪一个.(2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系.答案(1)C(2)a2解析(1)由该几何体的正视图和侧视图
9、可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是可知该几何体的底面积是，由图知A的面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，故选C.(2)画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图).D为OA的中点.易知DBDB(D为OA的中点)，SOABSOABa2a2.思维升华(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.(1)(2013湖南)已知棱长为1的正方体
10、的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.C.D.(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形答案(1)C(2)C解析(1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为1，不可能等于.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC，故四边形OABC是菱形.题型三空间几何体的表面积与体积例3(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
11、的表面积为()A.48B.328C.488D.80(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为()A.B.C.D. 思维启迪先由三视图确定几何体的构成及度量，然后求表面积或体积.答案(1)C(2)C解析(1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为.所以S表4224(24)4242488.(2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，
12、其中AP，AB，AC两两垂直，且APABAC1，故AP平面ABC，SABCABAC，所以三棱锥PABC的体积V1 SABCAP1，又RtABC是半球底面的内接三角形，所以球的直径2RBC，解得R，所以半球的体积V2()3，故所求几何体的体积VV1V2.思维升华解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.(2012课标全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A
13、.B.C.D.答案A解析由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍.在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2，高OD ，VSABC2VOABC2.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABCABC中，底面是边长为3的等边三角形，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥CMNP的体积
14、.思维启迪(1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MNNP最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好.规范解答解(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为.2分(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如下图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.8分(3)SPCNCPCN2.在三棱锥MPCN中，M到面PCN的距离，即h3.VCMNPVMPCNhSPCN.12分温馨提醒(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)
15、如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方法与技巧1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.3.三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.4.直观图画法
16、：平行性、长度两个要素.5.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.6.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.失误与防范1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.3.几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.A组专项基础
17、训练(时间：40分钟)一、选择题1.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A.20B.15C.12D.10答案D解析如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2510(条).2.(2012福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个 几何体不可以是()A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱 答案D解析考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得.球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥
18、OABC，当OA、OB、OC两两垂直且OAOBOC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.3.(2013重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C.200D.240答案C解析由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S20.又棱柱的高为10，所以体积VSh2010200.4.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案D解析由俯视图可知是B和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错.5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体
19、的表面积为()A.B.C.D.答案C解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，表面积S21212.二、填空题6.如图所示，E、F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影 是_.(填序号)答案解析四边形在面DCC1D1上的投影为：B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上，而不在四边形的内部，故错误.7.已知三棱锥ABCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为_.答案3解析如图，构造正方体ANDMFBEC.因为三棱锥ABCD的所有棱长都为，所以正
20、方体ANDMFBEC的棱长为1.所以该正方体的 外接球的半径为.易知三棱锥ABCD的外接球就是正方体ANDMFBEC的外接球，所以三棱锥ABCD的外接球的半径为.所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为S球423.8.(2013江苏)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.答案124解析设三棱锥FADE的高为h，则.三、解答题9.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积.解这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半
21、径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S1222(12)2(24)3.10.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中心， D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B120，AB30，则OD5，O1D1，由S侧S上S下，得(2030)3DD1(202302)，解得DD1，在直角梯形O1ODD1中，O1O4，所以棱台的高为4
22、cm.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.在四棱锥EABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD,2AB3CD，M为AE的中点，设EABCD的体积为V，那么三棱锥MEBC的体积为()A.VB.VC.VD.V答案D解析设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.连接MD.因为M是AE的中点，所以VMABCDV.所以VEMBCVVEMDC.而VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC，所以.因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而ABCD，且2AB3CD，所以.所以VEMBCVMEBCV.2.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A.286B.306C.56
23、12D.6012答案B解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AE4，ED3，AD5.又CDBD，CDAE，则CD平面ABD，故CDAD，所以AC且SACD10.在RtABE中，AE4，BE2，故AB2.在RtBCD中，BD5，CD4，故SBCD10，且BC.在ABD中，AE4，BD5，故SABD10.在ABC中，AB2，BCAC，则AB边上的高h6，故SABC266.因此，该三棱锥的表面积为S306.3.表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_.答案2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半
24、径为r.则l2r23，l2r，r1，即圆锥的底面直径为2.4.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角 三角形.(1)根据图所给的正视图、俯视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD6.由正视图可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA6 cm.5.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为，所以rRx，所以S圆柱侧2rx 2Rx(0xH).(2)因为0，所以当x时，S圆柱侧最大.故当x，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.
