1、第4讲函数性质的综合问题函数的单调性与奇偶性 (1)设f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A3，3B2，4C1，5D0，6(2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，设ab0，则下列不等式中成立的是()Af(b)f(a)g(a)g(b)Cf(a)f(b)g(b)g(a)【解析】(1)因为f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，所以2b3b0，解得b3，由函数f(x)在6，0上为增函数，得f(x)在0，6上为减函数故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.(
2、2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，由ab0，得f(a)f(b)0，f(a)g(a)，f(b)g(b)；对于A，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0上成立)，所以A正确；对于B，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0，这与f(b)0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(a)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(a)f(x2)或f(
3、x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响1已知函数f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0，则实数m的取值范围是()A.B(，0)C.D解析：选C.因为f(x)为偶函数，且在0，3)上是减函数，所以f(x)在(3，0)上是增函数f(m1)f(3m1)0可化为f(m1)f(3m1)，因为f(x)为偶函数，所以f(m1)f(3m1)即为f(|m1|)f(|3m1|)又f(x)在0，3)上为减函数，所以解得m，故选C.函数的周期性与奇偶性 (1)(2021镇江模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x
4、3)f(x)，且当x时，f(x)x26x8，则f(0)f(1)f(2)f(2 020)()A6B3C0D3(2)已知函数yf(x)满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()A.BCD【解析】(1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x3)f(x)则有f(x6)f(x3)f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)0，则f(3)f(0)0.又由当x时，f(x)x26x8，得f(1)3，f(2)f(13)f(1)f(1)3.f(4)f(13)f(1)3，f(5)f(23)f(2)3.则有f(0)f(1)f(
5、2)f(3)f(4)f(5)0，则f(0)f(1)f(2)f(2 020)f(0)f(1)f(2)f(5)336f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)3.故选B.(2)由yf(x)和yf(x2)是偶函数知f(x)f(x)，且f(x2)f(x2)，则f(x2)f(x2)所以f(x4)f(x)，则yf(x)的周期为4.所以F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1).【答案】(1)B(2)B周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解1已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实
6、数a的取值范围为()A(1，4)B(2，1)C(1，2)D(1，0)解析：选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)f(1)f(1)，即1，化简得(a4)(a1)0，解得1a4.2(2021全国高考冲刺压轴卷(样卷)已知定义在R上的奇函数yf(x)满足f(x8)f(x)0，且f(5)5，则f(2 019)f(2 024)()A5B5C0D4 043解析：选B.由f(x8)f(x)0，得f(x8)f(x)，所以f(x16)f(x8)f(x)，故函数yf(x)是以16为周期的周期函数在f(x8)f(x)0中，令x0，得f(8)f(0)0，因为函数yf(x)是定义在R上的奇函
7、数，所以f(0)0.故f(8)0.故f(2 024)f(161268)f(8)0.又在f(x8)f(x)0中，令x3，得f(5)f(3)0，得f(5)f(3)f(3)5，则f(2 019)f(161263)f(3)5，所以f(2 019)f(2 024)5.故选B.函数的奇偶性、周期性与对称性的综合问题 (1)若函数yf(x)在(0，2)上是增函数，函数yf(x2)是偶函数，则下列结论正确的是()Af(1)ffBff(1)fCfff(1)Dff(1)f(2)(多选)(2021福建高三毕业班质量检查测试)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称，下列关于f(x)的结论，正确的
8、是()Af(x)是周期函数Bf(x)满足f(x)f(4x)Cf(x)在(0，2)上单调递减Df(x)cos 是满足条件的一个函数【解析】(1)因为yf(x2)是偶函数所以yf(x)的图象关于直线x2对称，所以f(1)f(3)又f(x)在(0，2)上为增函数，所以f(x)在(2，4)上为减函数，所以ff(1)f.(2)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)f(2x)，故f(x2)f(x)，故有f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；可得f(x)f(x)f(x4)，把x替换成x可得f(x)f(4x)，故B正确
9、；f(x)cos 是定义在R上的偶函数，(1，0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)cos 满足题意，但f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误【答案】(1)B(2)ABD函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有f(0)0；偶函数一定有f(|x|)f(x)”在解题中的应用 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)()A在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区
10、间3，4上是减函数解析：选B.由f(x)f(2x)得f(x)的图象关于直线x1对称又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数思想方法系列4活用函数性质中的“三个二级”结论函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(
11、0)0. 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【答案】2二、抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数
12、，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 023)f(2 024)()A3B2C1D0【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 023)f(2 023)因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次又当x(0，3)时，f(x)x1，所以f(2 023)f(33761)f(1)2，f(2 024)f(33762)f(2)3.故f(2 023)f(2 024)f(2 023)31.【答案】C三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx
13、)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称 (多选)(2021山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x2)f(x)，且函数f(x1)为奇函数，则下列结论正确的是()A函数f(x)是周期函数B函数f(x)的图象关于点(1，0)对称C函数f(x)为R上的偶函数D函数f(x)为R上的单调函数【解析】因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)是周期函数，故A正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以函数f(x1)的图象关于原点中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以f(x1)f(x1)，根据f(x2)f(x)，f(x1)f(x1)，所以f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，故C正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以f(1)0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)0，所以函数f(x)不单调，D不正确【答案】ABC