1、天津市和平区2020届高三数学下学期线上学习阶段性评估检测试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合A1，2，6，B2，4，CxR|1x5，则（AB）C（ ）A. 2B. 1，2，4C. 1，2，4，5D. xR|1x5【答案】B【解析】【分析】先求出AB1，2，4，6，再与集合C求交集即可.【详解】A1，2，6，B2，4，AB1，2，4，6，又C，（AB）C1，2，4故选：B【点睛】本题考查集合的交、并运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.2.设aR，则“|a1|1”是“a2+3a0”（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D
2、. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解不等式，利用集合间的包含关系来判断.【详解】|a1|1，解得：0a2，a2+3a0，解得：0a3，“|a1|1”是“a2+3a0”的充分非必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件，通常在判断充分条件、必要条件有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.利用集合间的包含关系判断.3.已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置
3、关系；2、两条直线垂直的应用.4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)1245销售额y(万元)10263549根据上表可得回归方程中的约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ）A. 54万元B. 55万元C. 56万元D. 57万元【答案】D【解析】试题分析：由表格可算出,根据点在回归直线上,代入算出,所以,当时,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心.5.设，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.【详解】,故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.6.
4、著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用的奇偶性可排除A，由x0时，f（x）函数值的正负可排除D，当x+时，f（x）函数值变化趋势可排除C.【详解】根据题意，函数f（x），其定义域为x|x0，有f（x）（）f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，又由x0时，有exex，即有exex0，则有f（x）0，排除D，当x+时，f（x）+，排除C；故选：B【点睛】本题考查由解析式确定函数图象的问题，一般做这类题，要牢牢抓住函数的性质，如奇偶性，单调性以及特殊点的函数
5、值等，本题是一道基础题.7.已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】A【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y22px的准线方程为，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，由双曲线的性质，可得b=1；则，则焦距为2c=2；故选A8.已知函数，那么下列命
6、题中假命题是（ ）A. 是偶函数B. 在上恰有一个零点C. 是周期函数D. 在上是增函数【答案】D【解析】【分析】根据函数的性质,逐个判断各选项的真假【详解】对于，函数，定义域为，且满足，所以为定义域上的偶函数，正确；对于，时，且，在上恰有一个零点是，正确；对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数是最小正周期为的周期函数， 正确；对于D，时，且，在上先减后增，D错误故选D点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法9.已知函数，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，设为实数，由函数，可得画出函数的图
7、象，由函数的图象可知，值域为存在实数，使，即，实数的取值范围为，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上10.设复数满足，则_【答案】.【解析】【分析】求解出复数，根据模长的定
8、义可求得结果.【详解】由题意得：本题正确结果：【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.11.二项式的展开式中，常数项为_.（用数字作答）【答案】112【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解【详解】通项公式Tr+1,令80，解得r6常数项112故答案为112【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，熟记通项公式，准确计算是关键，属于基础题12.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB3，BC5，M是AA1的中点，则三棱锥A1MBC1的体积为_【答案】4【解析】【分析】用等体积法将三棱锥A1MBC1的体积转化为三棱
9、锥的体积即可.【详解】在直三棱柱ABCA1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB3，BC5，A1C1AA1，AC2+AB2BC2，A1C1A1B1，AA1A1B1A1，A1C1平面A1MB，M是AA1的中点，3，三棱锥A1MBC1的体积：4故答案为：4【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.13.一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是_； 若表示摸出黑球的个数，则_【答案】 (1). (2). 【解析】从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是；可取：0,1,2,.,14.
10、已知a0，b0，当（a+4b）2取得最小值为_时，a+b_【答案】 (1). 8 (2). 【解析】【分析】由a+4b可得（a+4b）2，再利用一次基本不等式即可，要注意验证等号成立的条件.【详解】因为a0，b0，所以a+4b，当且仅当a4b时取等号，所以（a+4b）216ab，则（a+4b）28，当且仅当即a1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b故答案为：（1）8；（2）【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值的问题，一般在利用基本不等式求最值时，应尽量避免多次运用，以免等号不能同时成立，本题是一道中档题.15.如图，在等腰ABC中，ABAC3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且1
11、，则tanA_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设A（0，b），B（a，0），C（a，0），利用1以及可求得a，b，在ABC中利用余弦定理求得，从而可得；利用数量积的定义计算.【详解】以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设A（0，b），B（a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，D（，），E（，），M（ ，），N（ ，），（a，），（a，），且 1，a21，又AC3，a2+b29，联立得，a2，在ABC中，由余弦定理得，cosA因为A为等腰三角形的顶角；且cosA，sinA；tanA；sin；cosBcos（）
12、sin；32acosB3故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查向量的坐标运算以及定义法求向量的数量积，做此类题关键是建好系，准确写出点的坐标，是一道中档题.三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.已知函数（1）求的最小值，并写出取得最小值时的自变量的集合（2）设的内角，所对的边分别为，且，若，求，的值【答案】（1）最小值为；，；（2），【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的图象和性质即可求解（2）由已知可求，结合范围，可求，由已知及正弦定理可得，进而由余弦定理可得，联立即可解得，的值【详解】解：（1）， 当，
13、即时，的最小值为，此时自变量的集合为：，（2）（C），又，可得：，由正弦定理可得：，又，由余弦定理可得：，可得：，联立解得：，.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题17.如图，在三棱柱中，已知，侧面.（）求直线与底面所成角正切值；（）在棱（不包含端点）上确定一点E的位置，使得（要求说明理由）；（）在（）的条件下，若，求二面角的大小.【答案】（）2；（）当E为中点时，理由见详解；（）二面角的大小为45.【解析】【分析】方法一：() 可得为直线与底面ABC所成角，由已知可得的值；（）
14、当E为中点时，可得，即.可得，平面ABE，；（）取的中点G，的中点F，则，且，连结，设，连结，可得为二面角的平面角，可得二面角的大小.方法二：()以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，可得，面ABC的一个法向量，可得的值，可得的值；（）设，则，,由，可得y的值，可得E的位置；（）可求得面的一个法向量，平面的一个法向量,可得二面角的大小.【详解】解：（）在直三棱柱，平面ABC,在平面ABC上的射影为CB.为直线与底面ABC所成角，即直线与底面ABC所成角的正切值为2.（）当E中点时，.,，即. 又平面，平面.，平面ABE, 平面ABE ，.（）取中点G，的中点F，则，且，,连结，设，连
15、结，则，且，为二面角的平面角. ，二面角的大小为45.另解：以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则. （），面ABC的一个法向量.设与面ABC所成角为，则，.（）设，则，,由，得，所以E为的中点. （）由，得，又,可求得面的一个法向量，平面的一个法向量,设二面角的大小为，则.二面角的大小为45.【点睛】本题主要考察线面角的求法，线线垂直的证明及二面角的求法，难度中等，方法二用空间向量求线面角，证线线垂直，求二面角，方法新颖.18.已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（ab0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB
16、，AD的斜率之和为定值（3）ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【答案】（1）（2）见解析（3）存在，最大值为【解析】【分析】（1）由已知解方程组即可；（2）设出直线BD的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决；（3）将ABD面积表示成，再利用基本不等式求得最值.【详解】（1）点A（1，）是离心率为的椭圆C：（ab0）上的一点，解得a2，椭圆C的方程为（2）证明：设D（x1，y1），B（x2，y2），设直线BD的方程为，直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，则kAD+kAB，（*）联立，8t2+640，解得2t2，将、式代入*式整理得0，kAD+kAB0
17、，直线AB，AD的斜率之和为定值（3）|BD|x1x2|，设d为点A到直线BD：的距离，当且仅当t2时取等号，2，当t2时，ABD的面积最大，最大值为【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，涉及到椭圆中的定值问题、存在性问题，考查学生的计算能力，是一道有难度的题.19.已知正项等比数列an满足a12，2a2a4a3，数列bn满足bn1+2log2an（1）求数列an，bn的通项公式；（2）令cnanbn，求数列cn的前n项和Sn；（3）若0，且对所有的正整数n都有22k+2成立，求k的取值范围【答案】（1）an2n；bn1+2n；（2）Sn2+（2n1）2n+1；（3）k2【解析】【分析】（
18、1）利用等比数列通项计算；（2）cn（2n+1）2n，利用错位相减法计算；（3）先求出的最大值，22k+2转化为22k+2对0恒成立，即k2对0恒成立.【详解】（1）正项等比数列an公比设为q，q0，a12，2a2a4a3，可得4q2q32q2，解得q2（1舍去），可得an2n；bn1+2log2an1+2log22n1+2n；（2）cnanbn（2n+1）2n，前n项和Sn32+54+78+（2n+1）2n，2Sn34+58+716+（2n+1）2n+1，两式相减可得Sn6+2（4+8+2n）（2n+1）2n+16+2（2n+1）2n+1，化简可得Sn2+（2n1）2n+1；（3）若0，且对
19、所有的正整数n都有22k+2成立，即为22k+2的最大值，由0，可得递减，可得n1时，取得最大值，可得22k+2，即为k2的最小值，可得222，当且仅当时取得最小值2，则k2【点睛】本题考查等比数列通项公式，错位相减法求数列和以及数列不等式中的恒成立问题，考查学生的推理与计算能力，是一道中档题.20.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3）【解析】【分析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；（2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间；（3）求
20、出，通过分析，可得到在增函数，从而有，转化为在上至少有两个不同的正根，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值.【详解】（1）当时，这时的导数，令，即，解得，令得到，令得到，故函数在单调递减，在单调递增；故函数在时取到最小值，故；（2）当时，函数导数为，若时，单调递减，若时，当或时，当时，即函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.若时，当或时，当时，函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.综上，若时，函数的减区间为，无增区间，若时，函数的减区间为，增区间为，若时，函数的减区间为，增区间为.（3）当时，设函数.令，当时，为增函数，为增函数，在区间上递增，在上的值域是，所以在上至少有两个不同的正根，令，求导得，令，则，所以在递增，当，当，所以在上递减，在上递增，的最大值为.【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.
