1、第二章单元质量评估第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知A(2，4，1)，B(1，5，1)，C(3，4，1)，令a，b，则ab对应的点为()A(5，9，2)B(5，9，2)C(5，9，2) D(5，9，2)答案B2已知a(3，2，5)，b(1，x，1)且ab2，则x的值是()A3 B4C5 D6答案C解析(3)12x5(1)2，解得x5.3已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0)C(0，1，1) D(1，0，1)答案B解析利用向量数量积公式的变形公
2、式cosa，b求向量的夹角，对各选项逐一计算验证各选项给出的向量的模都是，|a|.对于选项A，设b(1，1，0)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项B，设b(1，1，0)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b60，正确对于选项C，设b(0，1，1)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项D，设b(1，0，1)，则cosa，b1.因为0a，b180，所以a，b180.故选B.4在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充分必要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，
3、则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3C4 D5答案C5设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A. B.C. D.答案A解析因为()()()()，而xyz，所以x，y，z.故选A.6若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则能使l的是()Aa(1，0，0)，n(2，0，0)Ba(1，3，5)，n(1，0，1)Ca(0，2，1)，n(1，0，1)Da(1，1，3)，n(0，3，1)答案D解析A：an20；B：an150；C：an1
4、0；D：an330.7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案C解析以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则E(2，1，0)，F(1，0，2)，(1，1，2)平面AA1D1D的法向量可取n(0，1，0)，设直线EF与平面AA1D1D所成角为，则sin|cos，n|，所以直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为.故选C.8已知A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的面积是(
5、)A. B5C5 D5答案A解析(5，1，7)，(2，3，1)，10370，即ACBC.又|5，|，SABC|5.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值等于()A. B.C. D.答案B解析以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，M，则cos，.DB1与CM的夹角的余弦值为.10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为()A. B
6、.C. D.答案D解析方法一：A1B1EF，G在A1B1上，G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，也就是A1到D1E的距离D1E，由三角形面积可得h.方法二：以AB，AD，AA1所在直线作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，D1(0，1，1)，G(，0，1)，(1，0，0)，(，1，0)设平面EFD1的一个法向量是n(x，y，z)，则解得取y1，则n(0，1，2)点G到平面EFD1的距离是h.11正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析BB1与平面ACD1所成角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D
7、ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边ACD1的垂心即中心H，则DD1H为DD1与平面ACD1所成角，设正方体棱长为a，则cos DD1H，故选D.12在直角坐标系中，A(2，3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为()A. B2C3 D4答案B解析作AMx轴于M，BNx轴于N.则AM3，BN2，MN5.又，2()又AMMN，MNNB，60，故9254644.AB|2.故选B.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知A，B，C，D是平面上四点，O是空间任一点，an为等差
8、数列，若a1a8a15，求a8_答案解析A，B，C，D共面，a1a8a153a81，a8.14设A(2，2，4)，B(1，4，6)，C(0，1，2)，则AB的中点M到C点的距离CM_答案解析点M的坐标为，|.15若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量为n(x，y，z)，则xyz_答案23(4)解析，xyzyy23(4)16正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值是_答案解析以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则(0，1，1)(1，0，0)(1，1，1)为平面A1BD的一个法向量又(0，1，1)(1，1，0)(1，0，1)，则cos，.设
9、直线BC1与平面A1BD的夹角为，则sin，cos.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知a(1，2，2)(1)求与a共线的单位向量b；(2)若a与单位向量c(0，m，n)垂直，求m，n的值解析(1)设b(，2，2)，而b为单位向量，|b|1，即24242921.b或b.(2)由题意，知解得或18.(12分)如图，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体(1)化简，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设，试求，的值解析(1)如图取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1
10、F2FC1，则.(2)()().，.19(12分)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上，且C1E3EC.(1)证明：A1C平面BED；(2)求二面角A1DEB的余弦值解析(1)证明：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.依题设B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)(0，2，1)，(2，2，0)，(2，2，4)，(2，0，4)因为0，0，故A1CBD，A1CDE.又BDDED，所以A1C平面BED.(2)设向量n(x，y，z)是平面DA1E的
11、法向量，则n，n.故2yz0，2x4z0.令y1，则z2，x4，所以n(4，1，2)设等于二面角A1DEB的平面角，cosn，.所以二面角A1DEB的余弦值为.20.(12分)如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小(2)求DP与平面AADD所成角的大小解析(1)如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则(1，0，0)，(0，0，1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m，1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m，解得m或m(舍)，所以.因为cos，所以，45.即DP与CC所成的角为45
12、.(2)平面AADD的一个法向量是(0，1，0)，因为cos，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.21(12分)(2017山东，理)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解析(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，因此CBP30.(2)方法一：取的中点H，连接EH，GH，CH.因为EBC120，所以四边形BEHC为菱形，所
13、以AEGEACGC.取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，所以EMC为所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120，由余弦定理得EC22222222cos12012，所以EC2，因此EMC为等边三角形，故所求的二面角为60.方法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2，0，3)，(1，0)，(2，0，3)，设m(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x
14、2，y2，z2)是平面ACG的法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.由图形可知二面角EAGC为锐二面角，因此所求的角为60.22(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解析方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)(1)证明：
15、向量(0，1，1)，(2，0，0)，故0.所以BEDC.(2)向量(1，2，0)，(1，0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量则即不妨令y1，可得n(2，1，1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1，2，0)，(2，2，2)，(2，2，0)，(1，0，0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3，1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0，1，0)，则cosn1，n2.易知
16、，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.方法二：(1)证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM.又BEAM，所以BECD.(2)连接BM，由(1)有CD平面PAD，得CDPD，而EMCD，故PDEM，又因为ADAP，M为PD的中点，故PDAM，可得PDBE，所以PD平面BEM，故平面BEM平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM，可得E
17、BM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD2，而M为PD中点，可得AM，进而BE.故在直角三角形BEM中tanEBM，因此sinEBM.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H.因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，从而FHAC.又BFAC，得AC平面FHB，因此ACBH.在底面ABCD内，可得CH3HA，从而CF3FP.在平面PDC内，作FGDC交PD于点G，于是DG3GP.由于DCAB，故GFAB，所以A，B，F，G四点共面由ABPA，ABAD，得AB平面PAD，故ABAG.所以PAG为二面角FABP的平面角在PAG中，PA2，PGPD，APG45，由余弦定理可得AG，cos PAG.所以二面角FABP的余弦值为.
