1、 直线与圆、圆与圆的位置关系导学目标：1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：_、_、_.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：代数法：利用判别式，即直线方程与圆的方程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二次方程后，计算判别式 b24ac0 ，0 ，0 .几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：dr_.2圆的切线方程若圆的方程为 x2y2r2，点 P(x0，y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2y2r2 相切的切线
2、方程为_注：点 P 必须在圆 x2y2r2 上经过圆(xa)2(yb)2r2 上点 P(x0，y0)的切线方程为_3计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式AB 1k2|xAxB|1k2xAxB24xAxB.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法4圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_、_、_、_、_.判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为 O1、O2，半径为 r1、r2(r1r2)，则 O1O2r1r2_；O1O2r1r2_；|r1r2|O1O2r1
3、r2_；O1O2|r1r2；0|O1O2|0)的公共弦的长为 2 3，则 a_.6已知点 A 是圆 C：x2y2ax4y50 上任意一点，A 点关于直线 x2y10的对称点也在圆 C 上，则实数 a_.7设直线 3x4y50 与圆 C1：x2y24 交于 A，B 两点，若圆 C2 的圆心在线段 AB上，且圆 C2 与圆 C1 相切，切点在圆 C1 的劣弧 AB 上，则圆 C2 的半径的最大值是_8(2010全国改编)已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么PAPB的最小值为_二、解答题(共 42 分)9(14 分)圆 x2y28 内一点 P(1,2)，过点
4、 P 的直线 l 的倾斜角为，直线 l 交圆于 A、B 两点(1)当 34 时，求 AB 的长；(2)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程自主梳理1相切 相交 相离 相交 相切 相离 相交 相切 相离 2.x0 xy0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2 4.(1)外离 外切 相交 内切 内含 外离 外切 相交 内切 内含(2)(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0自我检测1.34，0 2.x 3y20 3.2 4.2 35xy30课堂活动区例 1 解题导引(1)过点 P 作圆的切线有三种类型：当 P 在圆外时，有 2 条切线；当 P 在圆上时，有 1
5、 条切线；当 P 在圆内时，不存在(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类(3)切线长的求法：过圆 C 外一点 P 作圆 C 的切线，切点为 M，半径为 R，则 PM PC2R2.解(1)将圆 C 配方得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 ykx，由|k2|1k2 2，解得 k2 6，得 y(2 6)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 xya0，由|12a|2 2，得|a1|2，即 a1，或 a3.直线方程为 xy10，或 xy30.综上，圆的切线方程为 y(2 6)x，或 y(2 6)x，或 xy1
6、0，或 xy30.(2)由 POPM，得 x21y21(x11)2(y12)22，整理得 2x14y130.即点 P 在直线 l：2x4y30 上当 PM 取最小值时，即 OP 取得最小值，直线 OPl，直线 OP 的方程为 2xy0.解方程组2xy0，2x4y30，得点 P 的坐标为 310，35.变式迁移 1 解 设圆切线方程为 y3k(x2)，即 kxy32k0，1|k22k|k21，k34，另一条斜率不存在，方程为 x2.切线方程为 x2 和 3x4y60.圆心 C 为(1,1)，kPC31212，过两切点的直线斜率为12，又 x2 与圆交于(2,1)，过切点的直线为 x2y40.例
7、2 解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为 k，直线与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点 C 到 l 的距离为d，圆的半径为 r.方法一 代数法：弦长 AB 1k2|x2x1|1k2x1x224x1x2；方法二 几何法：弦长 AB2 r2d2.(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系解(1)如图所示，AB4 3，取 AB 的中点 D，连结 CD，则 CDAB，连结 AC、BC，则 AD2 3，AC4，在 RtACD 中，可得 CD2.当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y5kx，即
8、 kxy50.由点 C 到直线 AB 的距离公式，得|2k65|k2122，解得 k34.当 k34时，直线 l 的方程为 3x4y200.又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x0.所求直线的方程为 3x4y200 或 x0.(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x，y)，则 CDPD，即CD PD 0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为 x2y22x11y300.变式迁移 2(1)证明 由 kxy4k30，得(x4)ky30.直线 kxy4k30 过定点 P(4,3)由 x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)224.直线
9、和圆总有两个不同的交点(2)解 kPC34431.可以证明与 PC 垂直的直线被圆所截得的弦 AB 最短，因此过 P 点斜率为 1 的直线即为所求，其方程为 y3x4，即 xy10.PC|341|2 2，AB2 AC2PC22 2.例 3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距 d 与两圆半径和、差的关系入手解 对于圆 C1 与圆 C2 的方程，经配方后C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果 C1 与 C2 外切，则有 m122m232.(m1)2(m2)225.m23m100，解得 m5 或 m
10、2.(2)如果 C1 与 C2 内含，则有 m12m2232.(m1)2(m2)21，m23m20，得2m1，当 m5 或 m2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；当2m0，b26b90，解得33 2b0.即直线 AB 的方程为 xy40，或 xy10.变式迁移 4 解(1)直线 l 过点 A(0,1)且斜率为 k，直线 l 的方程为 ykx1.将其代入圆 C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由题意：4(1k)24(1k2)70，得4 73k4 73.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得x1x244k1k2x1x271k2，OM ON x1x2y1y2(
11、1k2)x1x2k(x1x2)14k1k1k2 812k1(经检验符合题意)，k1.课后练习区1相交 2.3 3或 332 3解析 如图所示，x2y24y0 x2(y2)24，A(0,2)，OA2，A 到直线 l：y 3x 的距离是 AN1，ON 3，弦长 OJ2 3.4(4,6)5.1 6.1071解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0)到直线 3x4y50 的距离为|005|3242 1，圆 C1 的半径为2，AB 弧上的点到直线 3x4y50 距离最大为 211，因此圆 C2 的半径最大为 1.832 2解析 设APB2，则APOBPO，PAPB(PA)2cos 2 1tan2cos 21
12、sin2sin2(12sin2)1sin22sin232 23，当且仅当 1sin22sin2，即 sin2 22 时取等号9解(1)当 34 时，kAB1，直线 AB 的方程为 y2(x1)，即 xy10.(3 分)故圆心(0,0)到 AB 的距离 d|001|2 22，从而弦长 AB2812 30.(7 分)(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22，y1y24.由x21y218，x22y228，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kABy1y2x1x212.(12 分)直线 l 的方程为 y212(x1)，即 x2y50.(14 分)
