1、开鲁一中高二年级理科数学月考试题2020.10一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意求出集合A，B，直接求交集即可得解.【详解】由，或，所以，即.故选：C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查了解一元二次不等式和绝对值不等式，属于基础题.2. 计算：的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式，即可得答案；【详解】解：原式故选：D.【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.3. 已知，满足约束条件则的最大值为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】作出可
2、行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，可知当直线过与的交点时，最大，即可求出的最大值.【详解】作出不等式组表示可行域，如图中阴影部分所示，因为，所以， 显然直线过与的交点时，最大，解得，此时，所以，的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查线性规划求目标函数最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知向量与的夹角为120，|3，|，则等于（ ）A. 5B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】【分析】将|两边平方，得
3、到关于的一元二次方程，解方程即可.【详解】向量与的夹角为120，|3，|，,，1（舍去）或4，故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查向量的模的计算，考查计算能力，属于基础题.5. 已知，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，所以，当且仅当即时取等；故，即.故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最值，属于基础题型.6. 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由不等式组画出可行域,表示可行域内点与连线的斜率,由图求解即可.【详解
4、】由题,可行域如图所示,表示可行域内点与连线的斜率,则斜率或.故选:D【点睛】本题考查简单的线性规划,考查利用几何意义求范围,考查直线的斜率公式的应用.7. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程得出圆的圆心，由圆的对称性可得直线过圆心，得到关于、的关系式，运用基本不等式可求得的最小值.【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，而直线经过圆心，所以，得，因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“”，构造基本不等式，属于中档题.8. 已知，则下列
5、关系式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据不等式性质求解【详解】，同号，又，从而同号，所以，而，所以，B正确时，A错，时，都错故选：B【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础9. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D.考点：1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和.【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相
6、关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.10. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，再求出，再由，确定，所以，再利用平方关系求解.【详解】解：由题得，所以，又，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查同角三角函数关系求值，考查二倍角公式，考查三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，基础题.11. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）A. B. 2C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角
7、，得出，把所求式子用角表示，并求出角范围，最后用基本不等式求最值.【详解】因为，即，所以，因为，所以，由余弦定理，可得，再由正弦定理得，因为，所以，所以或，得或（舍去）.因为是锐角三角形，所以，得，即，所以，当且仅当，取等号.故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.12. 已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为，则,过作直线的垂线，垂足为B
8、，显然，又易得，所以，故.故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.二填空题13. 若，则的最小值是_【答案】3【解析】【分析】配凑目标式，再利用基本不等式即可求得最小值.【详解】则，当时取“=”故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属简单题.14. 已知，则与夹角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】由，直接计算即可得解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量夹角的求解，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.15. 在中，角所对的边分别为，的
9、平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据三角形面积关系列等量关系，再根据基本不等式求最值.【详解】因为,所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.16. 在等差数列中，公差，为的前项和.若向量，且，则的最小值为_.【答案】4【解析】【分析】根据向量垂直得到，计算数列的通项公式和前项和公式，代入化简，利用均值不等式计算得到答案.【详解】，解得.故，故，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，等差数列，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力
10、.三解答题17. 已知.（1）求的最小值；（2）已知为正数，且，求证.【答案】（1）3；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式求得函数的最小值.（2）利用基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1）依题意，当且仅当时，取得最小值，故的最小值为.（2）由（1）知，当且仅当时等号成立.【点睛】本小题主要考查利用绝对值不等求得最小值，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.18. 已知.（1）若的解集为，解不等式；（2）若，解关于的不等式【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得：可知，且，为的两个根，所以由根与系数的关系，解得，代入不等式即可求解；（2）由
11、，时，由不等式，即，进行分类讨论即可得解.【详解】（1）的解集为，可知，为的两个根，由根与系数的关系，解得，即为解得，不等式的解集为.（2），时，代入不等式，即当时，解得，解集为，当时，解得或，解集为或，当时，解得，解集为，当时，不等式解集为，当时，解得，解集为.【点睛】本题考查了解一元二次不等式，考查了三个一元二次之间的关系，同时考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题.19. 在中，角的对边分别为，满足(1)求角的大小(2)若，求的周长最大值【答案】（1） (2)9【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理，得，可得，进而可得的值；（2）由（1）及正弦定理，得，可得的周长，结合范围，即
12、可求的最大值.试题解析：（1）由及正弦定理，得 (2)解：由（I）得，由正弦定理得所以的周长 当时，的周长取得最大值为920. 已知等比数列的各项均为正数，且，（）求数列通项公式；（）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（）设数列的公比为，由求解，代入求得首项，则数列的通项公式可求；（）把数列的通项公式代入，再由裂项相消法求数列的前项和【详解】（）设数列的公比为，由，得，解得又，则；（）【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题21. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【
13、分析】(1)把分段表示，后解不等式（2）不等式恒成立等价于恒成立，则，求其最大值即可【详解】解：(1) 当时，由得，即解集为，当时，由得，解集为，当时，由得，解集为，综上所述，的解集为(2)不等式恒成立等价于恒成立，则，令，则，即所以实数的取值范围是【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.22. 设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用倒数法和构造法可得到数列为等比数列，结合等比数列通项公式可整理得到结果；（2）当时验证结论成立；当时，利用，结合等比数列求和公式可整理得到结论成立；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由可得：，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，整理可得：.（2）当时，又，成立，当时，综上所述：.【点睛】本题考查数列通项公式的求解、与前项和有关的证明问题，涉及到倒数法和构造法求解数列的通项公式、等比数列通项公式和求和公式的应用等知识；证明问题的关键是能够对数列通项进行准确的放缩.