1、北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科）2015.1第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合1,0,1A，2|2Bx xx，则集合 AB（）（A）1,0,1（B）1,0（C）0,1（D）1,13在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若2ab，3sin4B，则（）（A）3A（B）6A（C）3sin3A（D）2sin3A 4执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（）（A）4（B）5（C）6（D）72设命题 p：平面向量a 和b，|ab
2、ab，则p为（）（A）平面向量a 和b，|abab（B）平面向量a 和b，|abab（C）平面向量a 和b，|abab（D）平面向量a 和b，|ababa=2，x=3开始xyax=x+1103yx输出 x结束否是5设函数()3cosf xxbx，x R，则“0b”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8.设 D 为不等式组1,21,21xyxyxy表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面 xOy 内一点，若对于区域 D 内的任一点(,)A x y，都有1OA OB 成立，则ab的最大值等于（）（A）2（
3、B）1（C）0（D）36一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A）最长棱的棱长为 6（B）最长棱的棱长为3（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D）侧面四个三角形都是直角三角形7.已知抛物线2:4C yx，点(,0)P m，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点Q，使得90OQP?o，则实数 m 的取值范围是（）（A）(4,8)（B）(4,)+?（C）(0,4)（D）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图2211111第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9.复数2i12iz，则|z _10
4、设12,F F 为双曲线 C：2221(0)16xyaa 的左、右焦点，点 P 为双曲线 C 上一点，如果12|4PFPF，那么双曲线 C 的方程为_；离心率为_.11在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等 差 数 列，每 列 中 的 各 数 从 上 到 下 成 等 比 数 列，那 么xyz_12 如图，在 ABC中，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点E，F，且2ACAE，那么 AFAB _；A _13现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序，要求 2 个小品节目之间恰好有 3 个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是_.（用数字作答）14.设 P，Q 为
5、一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线 PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线 PQ 有_条.2x3y a32 12 58 z EFCBA 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）已知函数()2 3sincoscos442xxxf x,xR 的部分图象如图所示.（）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（）设点 B 是图象上的最高点，点 A 是图象与 x 轴的交点，求BAOtan的值.16（本小题满分 13 分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利 40%
6、不赔不赚亏损 20%概率121838（2）购买基金：投资结果获利 20%不赔不赚亏损 10%概率p13q（）当14p=时，求 q 的值；（）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于 45，求 p 的取值范围；（）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p=，16q=，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由AxBOy17（本小题满分 14 分）如图，在四棱柱1111DCBAABCD中，AA1 底面 ABCD，90BAD，BCAD/，且
7、122A AABADBC，点 E 在棱 AB 上，平面1AEC 与棱11C D 相交于点 F.（）证明：1A F 平面1BCE；（）若 E 是棱 AB 的中点，求二面角1AECD的余弦值；（）求三棱锥11BAEF的体积的最大值.18（本小题满分 13 分）已知函数2()(0)f xaxbx a和()lng xx的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同.（）若点 P 的坐标为 1(,1)e，求,a b 的值；（）已知ab，求切点 P 的坐标.19（本小题满分 14 分）已知椭圆 C：2211612xy 的右焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 e，点(,0)(4)P mm 满足条件|FAeAP
8、.（）求 m 的值；（）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记 PMF和 PNF的面积分别为1S，2S，求证：12|SPMSPN.B CDAB1C1EFA1D120（本小题满分 13 分）设函数()(9)f xxx，对于任意给定的 m 位自然数012 1mmna aa a（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换 A：012()()()()mA nf af af a.并规定(0)0A记10()nA n，21()nA n，1()kknA n，（）若02015n，求2015n；（）当3m 时，证明：对于任意的*()m mN位自然数 n 均有1()10mA n；（）
9、如果*010(,3)mnmmN，写出mn 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2015.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1C 2D 3A 4C 5C 6D 7B 8A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9110221416xy 51117412 12313961413注：第 10，12 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15（本小题满分 13 分）（）解：因为()2
10、3sincoscos442xxxf x 3sincos22xx 2 分=2sin()26x，4 分所以2412T.故函数()f x 的最小正周期为4.6 分由题意，得2 2 2262xkk，解得424 4+33kxk，所以函数()f x 的单调递增区间为424,4+,()33kkkZ.9 分（）解：如图过点 B 作线段 BC 垂直于 x 轴于点C.由题意，得334TAC，2BC，AxO CBy所以2tan3BCBAOAC.13 分16（本小题满分 13 分）（）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以 p+13+q=1.2 分又因为
11、14p=，所以q=512 3 分（）解：记事件 A 为“甲投资股市且盈利”，事件 B 为“乙购买基金且盈利”，事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，4 分则CABABAB=UU，且 A，B 独立.由上表可知，1()2P A=，()P Bp=.所以()()()()P CP ABP ABP AB=+5 分111(1)222ppp=?+?1122 p=+.6 分因为114()225P Cp=+，所以35p.7 分又因为113pq+=，0q，所以23p.所以 3253p.8 分（）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记 X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量 X
12、的分布列为：B CA1D1D A B1C1E F xyzM X 402P 12 18 38 9 分则113540(2)2884EX .10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记 Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：Y201P 12 13 16 11 分则111520(1)2366EY .12 分因为 EXEY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大 13 分 17（本小题满分 14 分）（）证明：因为1111DCBAABCD是棱柱，所以平面 ABCD平面1111A B C D.又因为平面 ABCD平面1AECFEC，平面1111A
13、BC D平面11AECFAF，所以1A F EC.2 分 又因为1A F 平面1BCE，EC 平面1BCE，所以1A F 平面1BCE.4 分（）解：因为1AA 底面 ABCD，90BAD，所以1AA，AB，AD 两两垂直，以 A 为原点，以 AB，AD，1AA 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系.5 分 则1(0,0,2)A，(1,0,0)E，(2,1,0)C，所以 1(1,0,2)A E,1(2,1,2)AC.设平面1AECF 的法向量为(,),mx y z 由10A E m，10AC m,得20,220.xzxyz 令1z ,得(2,2,1)m.7 分 又因为平面
14、DEC 的法向量为(0,0,1)n，8 分 所以1cos,3|m nm nmn，由图可知，二面角1AECD的平面角为锐角，所以二面角1AECD的余弦值为 13.10 分（）解：过点 F 作11FMAB于点 M,因为平面11A ABB 平面1111A B C D，FM 平面1111A B C D,所以 FM 平面11A ABB,所以111 11 113BA EFF B A EA B EVVSFM 12 分 12 22323FMFM.因为当 F 与点1D 重合时，FM 取到最大值 2（此时点 E 与点 B 重合），所以当 F 与点1D 重合时，三棱锥11BAEF的体积的最大值为 43.14 分 1
15、8.（本小题满分 13 分）（）解：由题意，得21()1eeeabf ，1 分且()2fxaxb，1()g xx，3 分 由已知，得11()()eefg，即 2eeab，解得22ea，3eb.5 分（）解：若ab，则()2fxaxa，1()g xx，设切点坐标为(,)s t，其中0s,由题意，得2lnasass，12asas，6 分由，得1(21)ass，其中12s，代入，得1ln21sss.（*）7 分因为10(21)ass，且0s，所以12s.8 分设函数1()ln21xF xxx，1(,)2x，则2(41)(1)()(21)xxF xxx.9 分令()0F x，解得1x 或14x(舍).
16、10 分当 x 变化时，()F x与()F x 的变化情况如下表所示，x1(,1)21(1,)()F x0()F x12 分所以当1x 时，()F x 取到最大值(1)0F，且当1(,1)(1,)2x 时()0F x.因此，当且仅当1x 时()0F x.所以方程（*）有且仅有一解1s .于是ln0ts，因此切点 P 的坐标为(1,0).13 分 19（本小题满分 14 分）（）解：因为椭圆 C 的方程为2211612xy，所以4a,2 3b,222cab,2 分 则 12cea，|2FA，|4APm.3 分 因为|21|42FAAPm，所以 8m.5 分（）解：若直线 l 的斜率不存在，则有2
17、1SS，|PMPN，符合题意.6 分若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为)2(xky，),(11 yxM，),(22 yxN.由),2(,1121622xkyyx 得 2222(43)1616480kxk xk，7 分 可知 0恒成立，且 34162221kkxx，3448162221kkxx.8 分 因为8)2(8)2(8822112211xxkxxkxyxykkPNPM 10 分)8)(8()8)(2()8)(2(211221xxxxkxxk)8)(8(32)(102212121xxkxxkxkx0)8)(8(323416103448162212222xxkkkkkkk，所以 M
18、PFNPF.12 分 因为 PMF和 PNF的面积分别为11|sin2SPFPMMPF，21|sin2SPFPNNPF，13 分 所以 12|SPMSPN.14 分 20（本小题满分 13 分）（）解：114082042n ，2201434n，3182038n，418826n，514 1832n，618 1432n，所以201532n 3 分（）证明：因为函数2981()(9)()24f xxxx，所以对于非负整数 x，知()(9)20f xxx.（当4x 或 5 时，取到最大值）4 分因为12()()()()mA nf af af a，所以()20A nm 6 分令1()1020mg mm，则3 1(3)102030g当3m 时，11(1)g()1020(1)10209 10200mmmg mmmm，所以(1)g()0g mm，函数()g m，（mN，且3m）单调递增故 g()g(3)0m，即11020()mmA n 所以当3m 时，对于任意的 m 位自然数 n 均有1()10mA n.9 分（）答：mn 的所有可能取值为 0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，3814 分
