1、1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理自主整理1.分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N=_种方法.（也称加法原理）2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N=_种方法.（也称乘法原理）高手笔记1.分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足
2、两条基本原理：（1）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；（2）分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这两条基本原则，才可以保证集合形式表述的分类加法计数原理的“S=S1S2Sn,SiSj=”两条基本原则成立，前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即使用分类加法计数原理的“不漏不重”.2.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.名师解惑1.如何正确选用两个计数原理？剖析：两个原理的
3、区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理.2.在使用两个计数原理解题时，怎样才能有效防止“重复”和“遗漏”的发生？剖析：（1）画“树形图”：当问题比较简单时，通过画“树形图”可以把所有的情况“不重不漏”地列举出来.（2）分类标准要统一：利用分类加法计数原理进行分类时，一定要以同一个标
4、准进行分类.（3）依次排序法:利用分步乘法计数原理时，把数字或字母分为先后，先排前面的数字或字母，再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完则结束.讲练互动【例1】高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人.（1）从高三一班或二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法?分析：（1）选一名校学生会主席分三类：从高三一班中选一名，有50种选法；从高三二班中选一名，有60种选法；从高三三班中选一名，有5
5、5种选法，然后利用分类加法计数原理求解.（2）选一名校学生会体育部长分三类：从高三一班男生中选，有30种选法；从高三二班男生中选，有30种选法；从高三三班女生中选，有20种选法.然后再利用分类加法计数原理求解.解：（1）50+60+55=165种，即所求选法有165种.（2）30+30+20=80种,即所求选法有80种.绿色通道:（1）中的分类标准是“班级”；（2）中的分类标准是班级和题目中要求的“性别”.在同一个问题中分类标准要统一.变式训练1.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）A.25 B.26 C.36 D.37解析：另两边长用x,y表示，且不妨设1xy11,要构成三
6、角形，必须x+y12.当y取值11时，x=1,2,3，11，可有11个三角形；当y取值10时，x=2，3，10，可有9个三角形当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形.所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36，故选C.答案：C【例2】用数字1，2，3可以组成多少个四位数？分析：完成这件事可分为四个步骤：第一步确定千位数，第二步确定百位数，第三步确定十位数，第四步确定个位数，这四步依次完成了，这件事就完成了.所以可用分步乘法计数原理求解.解：要组成一个四位数可以分成四个步骤：第一步确定千位上的数字，从3个数字里任选一个数字，共有3种选法；第二步确定百位上的数字，依题意数字允许重复，仍有3
7、种选法；第三步确定十位数字，同理，也有3种选法；第四步，也有3种选法.根据分步乘法计数原理得到可以组成的四位数的个数是N=3333=34=81个.绿色通道:要确定一个四位数，从四位数各个位上的数字如何确定的角度考虑，分为四个步骤，这种方法称为位置优先法.变式训练2.用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解：分四个步骤来完成涂色这件事.涂A有5种方法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法（还可以使用涂A的颜色）.根据分步乘法计数原理共有5433=180种涂色方法.【例3】一个三层书架，分别放置语文书12本
8、，数学书14本，英语书11本.（1）从中取出1本书，共有多少种不同的取法？（2）从中取出语文、数学、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）从中取出2本书，且语文、数学、英语每种只能选一本，有多少种不同的取法？分析：（1）中利用分类加法计数原理；（2）中利用分步乘法计数原理；（3）中先分类，然后再分步，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解.解：（1）分三类，共有不同取法N=12+14+11=37种.（2）分三步，共有不同取法N=121411=1 848种.（3）分三类，每类分两步.从语文、数学书中各选1本，有1214种不同的选法；从语文、英语书中各选1本，有1211种不同的选法；从数学、
9、英语书中各选1本，有1411种不同的选法，所以共有不同的选法N=1214+1211+1411=454种.绿色通道:对于复杂的计数问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性.变式训练3.现有高一四个班学生共34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：（1）分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8
10、种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34种.（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=78910=5 040种.（3）分六类，每类又分两步.从一班、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法，所以共有不同的选法N=78
11、+79+710+89+810+910=431种.【例4】已知100到999的三位数，其中含有0的三位数有多少？分析：综合应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，也可利用排除法求解.解法一：分类法.将含有数字0的三位数分三类：（1）只在个位上是0的，有99=81个；（2）只在十位上是0的，有99=81个；（3）个位与十位上都是0的，有9个.由分类加法计数原理，共有81+81+9=171个解法二：排除法.从所有的可能中减去不符合条件的排法的个数.从100到999所有的三位数共有999-99=900个，个位与十位均不为0的三位数由分步乘法计数原理共有999=729个，因此，含有数字0的三位数有900
12、-729=171个.绿色通道:“分类则加，分步则乘”是一个基本原则，分类要求不重、不漏，本例中的解法一按照0出现的数位及个数分为三类，是从特殊位置来讨论的.正难反易，因此排除法也是一种重要方法，如本例的解法二.变式训练4.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个.解析：用逆向思维，用总数减去个位数为0和5的情况.由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数：千位数字有5种，百位数字有5种，十位数字有4种，个位数字有3种，共5543=300个；个位为0的四位数：千位数字有5种，百位数字有4种，十位数字有3种，共543=60个;个位为5的四位数：千位数字有4种，百位数字有4种，十位数字有3种，共443=48个.不能被5整除的数共有：300-60-48=192个.答案：1925.(2007高考陕西卷,文15)安排3名支教教师去4所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有_种.（用数字作答）解析：3名教师分到4所学校任教，可分三步，每一步安排一名教师，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有444=64种方法.因为要求每校至多2人，要减去3名教师分到同一所学校的情况，共4种.所以共有64-4=60种分配方案.答案：60
