1、55 三角恒等变换 55.2 简单的三角恒等变换 第 1 课时 半角公式与三角恒等式的证明 课程目标 1.能由二倍角公式推导半角公式；2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能够证明三角恒等式 知识点 半角公式 【思辨】判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)tan 2 sin 1cos ，只需满足 2k(kZ).()(2)R，sin 2 12 sin.()(3)sin 151cos 302.()(4)1cos 2701cos 270 tan 135.()【解析】(2)R，sin 2 12 sin，如 2k(kZ).(3)sin 151cos 302.(4)1c
2、os 2701cos 270 tan 135.应用半角公式化简与求值 例1 已知 为钝角，为锐角，且 sin 45，sin 1213，则 cos 2 的值是_7 6565 _【解析】因为 为钝角，为锐角，sin 45，sin 1213，所以 cos 35，cos 513，所以 cos()cos cos sin sin 35 513 45 1213 3365.因为2 ，且 02 ，所以 0，得 02 2 ，所以 cos 2 1cos（）2 133652 7 6565 .活学活用已知 sin 45，52 3，则 sin 2 _2 55 _，tan 2 _2_【解析】因为 sin 45，52 3，所
3、以 cos 1sin2 35.又因为54 2 32 ，所以 sin2 1cos 2 2 55 ，tan 2 sin 1cos 2.例2 已知 2，化简1sin 1cos 1cos .解：1sin 1cos 1cos sin 2 cos 222cos 2sin 2.因为 2，所以2 4，2 ，所以原式 sin 2 cos 222cos 2 sin 2 sin 2 cos 22 22 sin 2 cos 2 22 sin 2 22 cos 2 sin 2 4 .活学活用化简：1sin 2cos 21tan .解：原式2sin22sincos 1sin cos 2sin cos（sin cos）si
4、n cos 2sin cos sin 2.三角恒等式的证明 例3 求证：tan 3x2 tan x2 2sin x2cos 3x2.证明：左边tan 3x2 tan x2 sin 3x2cos 3x2 sin x2cos x2 sin 3x2 cos x2cos 3x2 sin x2cos 3x2 cos x2 sin 3x2 x2cos 3x2 cos x2 sin xcos 3x2 cos x2 2sin x2cos x2cos 3x2 cos x2 2sin x2cos 3x2 右边所以原等式成立 活学活用已知 A，B，C 为ABC 的三个内角，sin A cos2C2 sinC cos
5、2A2 32 sinB，求证：sin Asin C2sin B.证明：由 sin A cos2C2 sinC cos2A2 32 sinB，得 sin A1cos C2 sin C1cos A2 32 sin B，即 sin Asin Csin A cos Ccos A sin C3sin B，sin Asin Csin(AC)3sin B，sin Asin Csin(B)3sin B，即 sin Asin Csin B3sin B，sin Asin C2sin B1若锐角 满足 cos 14，则 tan 2 等于(C)A 35 B35 C 155 D45【解析】因为 为锐角，所以tan 2
6、1cos 1cos 114114 155 .2若 cos 13，且(0，)，则 cos 2 的值为(A)A 63 B 63 C 63 D 33 【解析】因为(0，)，所以2 0，2 ，所以 cos 2 1cos 2 1132 63 .3若2 ，则 1sin 12（1cos）(D)A2sin 2 cos 2 Bcos 2 2sin 2 Ccos 2 Dcos 2 【解析】2 ，4 2 cos 2 0.1sin sin22 cos22 2sin2 cos 2 sin 2 cos 2 2，12(1cos)sin22 ，1sin 12（1cos）sin 2 cos 22 sin22 sin2 cos 2 sin 2 cos 2 .4已知 sin 2 cos 2 15，450540，则 tan 2 的值为_2_.【解析】由题意得sin 2 cos 2 2 15，即 1sin 15，sin 45.450540，cos 35，tan 2 1cos sin 13545 2.5函数 f(x)4sin x2 cos x 的最大值为_3_，最小值为_5_【解析】f(x)4sin x2 cos x4sin x2 12sin2x2 2sinx21 2 3，当 sin x2 1 时，ymin5；当 sin x2 1 时，ymax3.温馨说明：课后请完成高效作业46
