1、第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：名 称 内 容 空间直角 坐标系 以空间一点O为原点，具有相同的单位长 度,给定正方向,建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角 坐标系_.坐标原点 点O 坐标轴 _、_、_ 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 Oxyz x轴 y轴 z轴(2)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示，记作 M(x,y,z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_.建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.横坐标 纵坐
2、标 竖坐标 2.空间两点间的距离(1)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|=_.特别地，点P(x,y,z)与坐标原点O的距离为|=_.(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中两点，则线段AB 的中点坐标为_.AB222121212xxyyzzOP222xyz121212xxyyzz(,)2223.空间向量的有关概念 名 称 概 念 表 示 零向量 模为_的向量 0 单位向量 长度(模)为_的向量 相等向量 方向_且模_的向量 a=b 相反向量 方向_且模_的向量 a的相反 向量为-a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直 线互相_的向量 ab 共
3、面向量 平行于同一个_的向量 0 1 相同 相等 平行或重合 平面 相反 相等 4.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0),ab的 充要条件是存在实数，使得_.(2)共面向量定理：如果两个向量a,b_，那么向量p与 向量a,b共面的充要条件是存在_的有序实数对(x,y)，使_.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c_，那么 对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得_.其中，a,b,c叫做空间的一个基底.惟一 a=bp=xa+yb不共面 p=xa+yb+zc不共线 5空间向量的数量积及运算律 AOB a,b 0a,b|a|b|cosa,b (ab)
4、a(b)ba ab+ac 6空间向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(a,b均为非零向量)，a1b1+a2b2+a3b3=0 a1b1+a2b2+a3b3 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)空间中任意两非零向量a,b共面.()(2)对于任意两个空间向量a,b,若ab=0，则ab.()(3)在向量的数量积运算中(ab)c=a(bc).()(4)对于非零向量b,由ab=bc,则a=c.()(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()【解析】(1)正确.由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面.(2)错误
5、.若a与b是非零向量，才有ab=0ab.(3)错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量，(ab)c=c,a(bc)=a,故(ab)c与a(bc)不一定相等.(4)错误.根据向量数量积的几何意义，ab=bc说明a在b方向上的射影与c在b方向上的射影相等，而不是a=c.(5)错误.两向量夹角的范围是0，两异面直线所成 角的范围是(0，答案：(1)(2)(3)(4)(5)21.在空间直角坐标系中，点A(1，1，1)与点B(2，2，-1)之间的距离为()(A)(B)6 (C)(D)2【解析】选A.由空间两点间的距离公式可得 故选A.63AB2221 21 21 16.2.有4个命题：若pxa+
6、yb,则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxa+yb;若 则P，M，A，B共面；若点P，M，A，B共面，则 其中真命题的 个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 MPxMAyMB，MP xMAyMB.【解析】选B.正确，中若a,b共线，p与a不共线，则 p=xa+yb就不成立，正确，中若M，A，B共线，点P不 在此直线上，则 不正确.MP xMAyMB3.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若 则 的值等于_.【解析】答案：AD2DB，1CDCACB,3 2CDCAADCAAB32CA(CBCA)3122CACB,.333 234.已知空间三点A(1，1，1)，B(-1，0，4)
7、，C(2，-2，3)，则 的夹角 _.ABCA与【解析】(-2，-1，3)，(-1，3，-2)，(-2)(-1)+(-1)3+3(-2)=2-3-6=-7.又0,=.答案：ABCAAB CA222222AB21314,CA13214,AB CA71cos.142AB CA 23 23 5.在空间四边形ABCD中，=_.【解析】设 =b，=c，=d，则 =d-c,=d-b,=c-b.原式=b(d-c)+(c-b)d-c(d-b)=0 答案:0 AB CDBC ADCA BDABACADCDBDBC考向 1 求空间点的坐标 【典例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为
8、_.(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.【思路点拨】(1)空间直角坐标系中,点在x轴上的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)分析正三棱柱底面三角形角的大小，正确选择原点及坐标轴建系.【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).答案：(2,0,0)(2)以A点为坐标原点，AC，AA1所 在直线分别为y轴、z轴建立空间 直角坐标系，如图所示.设AC的中点是D，连接BD，则BD y轴，且BD=，A(0,0,0),B(,1,0),
9、C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1(,1,2),C1(0,2,2).333【互动探究】本例题(2)中若以AC的中点D为坐标原点，以DB,DC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.【解析】建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0)，A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).33【拓展提升】求空间中点P的坐标的方法(1)垂面法：过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.(2)垂线法：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，
10、再判断出对应数值的符号，进而可求得点P的坐标.【变式备选】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为A1C1中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标.【解析】如图，以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系.从M点分别向平面yAz、平面xAz、平面 xAy作垂线.正方体的棱长为2，M点的坐标为(1，1，2).同理，N点坐标为(1，0，1).考向 2 空间向量的线性运算 【典例2】(1)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8)，则3a-2b=_.(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 a,=b,=c,M，
11、N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量：1AAABAD11APA NMPNC.；【思路点拨】(1)根据向量坐标运算的法则解题即可.(2)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算.【规范解答】(1)3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).答案：(5,13,-28)(2)P是C1D1的中点，N是BC的中点，=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.111111AP AAA DD P11ADD C.22 aacb11A NA AABBN1 BC21 AD212M是AA1的中点，-a+(
12、a+c+b)=a+b+c.又 11MP MAAPA AAP2121212121111NCNCCCBCAA21111ADAA,22111MPNC()()222313.222caabcacabc【互动探究】在本例题(2)中，若O为底面ABCD对角线AC与BD 的交点，试用a,b,c表示向量【解析】1C O.1111C O C CCO C CCA21111C CCBCDAA(BCBA)22111.222 acbabc【拓展提升】空间向量线性运算的方法 几 何 表 示 坐 标 表 示 加法 满足三角形法则和平行四边形法则 对应坐标相加 减法 满足三角形法则 对应坐标相减 数乘 与平面向量数乘类似 把每
13、个坐标同乘以常数 空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同 【提醒】(1)进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点(2)进行向量减法时，必须使两向量共起点【变式备选】如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG 2GN，用基底向量 表示向量 OA OBOC，OG.【解析】2OGOMMGOMMN312OA(ONOM)2312 11OAOBOCOA23 22111OAOBOCOA233111OAOBOC,633111OGOAOBOC.633考向 3
14、 共线向量定理、空间向量基本定理的应用【典例3】(1)已知向量a,b且 a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()(A)A，B，D (B)A，B，C (C)B，C，D (D)A，C，D(2)已知a,b,c是空间的一个基底，a+b,a-b,c是空间的另一个基底，一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标是()(A)(4，0，3)(B)(3，1，3)(C)(1，2，3)(D)(2，1，3)ABBCCD【思路点拨】(1)利用三点共线的条件验证即可.(2)用基底a+b,a-b,c表示p即可.【规范解答】(1)选A.=-5a+6b,=7
15、a-2b,=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b.又 =a+2b,BD与AB有公共点B，A,B,D三点共线.BCCDBDBCCDABBD2AB.(2)选B.向量p在基底a,b,c下的坐标为(4，2，3)，p=4a+2b+3c.设p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(3，1，3).xy4,x3.xy2,y1,z3,z3.即【拓展提升】空间共线向量定理、共面向量定理的应用 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O，PAPB MPxMAyM
16、B OPOAtAB OP OMxMAyMBOP xOA1 x OBOPxOMyOA1 xy OB【变式训练】给出命题：若a与b共线，则a与b所在的直线 平行；若a与b共线，则存在唯一的实数，使b=a；若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，则点M一定在平面ABC上，且在ABC的 内部.上述命题中的真命题是_.111OMOAOBOC,333【解析】中向量a与b所在的直线也有可能重合，故是假 命题；中当a=0,b0时，找不到实数,使b=a，故是 假命题；可以证明中A，B，C，M四点共面，因为 等式两边同时加上 则 又M是三个有向线段的公 共点，故A，B，C，M四点共面，M是ABC的重心，所以
17、点M在 平面ABC上，且在ABC的内部，故是真命题.答案：111OAOBOCOM333，MO，111MOOAMOOBMOOCMAMBMC333MAMBMCMAMB MC，即，则与，共面，00考向 4 空间向量的数量积及其应用 【典例4】(1)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直，则k=_(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，ACD=90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长.【思路点拨】(1)利用两向量数量积等于零，列出方程求解 即可.(2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关 系和数量关系，然后用
18、根据 求解 BA,AC,CDBD表示，2BDBD【规范解答】(1)由题意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2，-2)所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=0，解得k=答案:7.575(2)AB与CD成60角，=60或120，又AB=AC=CD=1，ACCD，ACAB，|=2或 BD的长为2或 BA,CD22222BDBDBAACCDBAACCD2BA AC2AC CD2BA CD1 1 1002 1 1 cosBA,CD32cosBA,CD BD2.2.【拓展提升】1.空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a,b的夹角为，则ab=abcos.(
19、2)坐标法：设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则ab=x1x2+y1y2+z1z2 解题时可根据条件灵活选择方法 2.数量积的应用(1)求夹角:设向量a,b所成的角为，则cos 进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离):运用公式a2=aa，可使线段长度的计 算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题:利用abab=0(a0,b0)，可将垂直 问题转化为向量数量积的计算问题|，|a bab【变式训练】如图所示，在空间直角坐标系中，BC2，原点 O是BC的中点，点A的坐标是(0)，点D在平面yOz上，且BDC90,DCB=30.(1)求向量 的坐标.(2)设向
20、量 的夹角为，求cos 的值.3 122，ODADBC和【解析】(1)如图所示，过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中，由BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD1，CD DECDsin 30=OE=OB-BDcos 60=1-D点坐标为(0，)，即向量 的坐标为(0，).3.3,211.221322，1322，OD(2)依题意知，(0)，(0，-1，0)，(0，1，0).所以 (0，2，0).则cos=3 122，OAOBOC33AD ODOA(1)22，BC OCOBAD BCADBC 22222233()0(1)202233()1()02022210.510 【满分指导】空间向量解
21、答题的规范解答 【典例】(13分)(2013长沙模拟)已知空间中三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3,0,4),设(1)若c=3,且c ,求向量c的坐标.(2)若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，求m,n应满足的关系式.AB,AC.abBC【思路点拨】已 知 条 件 条 件 分 析 A，B，C的坐标 求a与b，c c=|c|=3 根据模的公式建立关于的方程 m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直 数量积为0，建立关于m,n的方程 BCBCBC【规范解答】(1)由条件得a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，=(-2,-1,2).2分 c .4分 c=3=3,=1或=
22、-1.c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).6分 ABACBCACABBC,BC2,1,2(2,2)c22222 (2)由条件得a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),2a-b=(3,2,-2).m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).9分 m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，m(a+b)+n(a-b)(2a-b)=32n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0.m=6n.12分 即当m=6n时，可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直.13分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013长春模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
23、给出以下向量 表达式：其中能够化简为向量 的是()(A)(B)(C)(D)11111111111A DA AABBCBBD CADAB2DDB DA ADD.；1BD【解析】选A.11111A DA AAB ADAB BD；1111111111111111111BCBBD CBCD CBDADAB2DDBD2DDBDB DA ADDB DDDB DBD.；2.(2013宝鸡模拟)已知四边形ABCD满足：则该四边形为()(A)平行四边形 (B)梯形(C)长方形 (D)空间四边形 CD DA0 DA AB0，AB BC0 BC CD0，【解析】选D.假设为平面四边形，则由已知条件得四边形的四个外角
24、均为锐角，但在平面四边形中，任一四边形的外角和是360,这与四个外角均为锐角矛盾，故该四边形是一个空间四边形.3.(2013上海模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为 棱AA1和BB1的中点，则sin 的值为()1CM D N，1422AB5C5D 9993【解析】选B设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所 示空间直角坐标系，则 =(2,-2,1),=(2,2,-1),cos =sin =CM1D N1CM D N，1CM D N，19，4 5.94.(2013漳州模拟)已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当 取
25、最小 值时，点Q的坐标是_.QA QB【解析】O(0，0，0)，P(1，1，2)，=(1,1,2).点Q在直线OP上运动，,故可设Q点的坐标为(,2)，(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2),=(1-,2-,3-2)(2-,1-,2-2)OPOQOPQAQBQA QB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=2-3+2+2-3+2+42-10+6=62-16+10,当=时,取得最小值，此时Q点的坐标是 答案：164123QA QB4 4 8().3 3 3，4 4 8()3 3 3，5.(2013徐州模拟)给出下列命题：=0；a-b=a+b是a,b共线 的充要条件；
26、若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面 内；若 ，则P,A,B三点共线其中正确命题 的序号是_ ABBCCDDA11OPOAOB23【解析】由向量的运算法则知正确；只有当向量a，b共线 反向且|a|b|时成立，故不正确；当a与b共面时，向量 a与b所在的直线平行、重合、相交或异面，故不正确；由 1知，三点不共线，故不正确综上可得正确 答案:11231.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 则点A在平面BCD内的射影是BCD的()(A)垂心 (B)外心 (C)内心 (D)不能确定 AB AC 0，AC AD 0 AB AD 0，【解析】选A.由 所以 ，即ACBD.同理可得ABCD，ADBC，所以A点在平面BCD内的射影是BCD的垂心.AB AC0 AC AD 0AB ACAC AD，得AC(ABAD)AC DB 0，ACBD2.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a与b同向，则x,y的值分别为_.【解析】由题意知ab,所以 b=(-2,-4,-6)=-2a,即a与b反向，不符合题意，应舍去.b=(1,2,3)=a,即a与b同向，故 答案：1，3 2xxy2y,1232y3xxy22x，即，x2,x1,y6,y3.解之得或x2,y6 当时x1,y3 当时，x1,y3.
