1、数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知复数z满足，则（ ）A.B.C
2、.D.3.已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A.B.1C.D.24.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（ ）A.2B.C.3D.5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（ ）A.B.C.D.6.已知，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.7.若（）能被9整除，则的最小值为（ ）.3B.4C.5D.68.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱
3、，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）A.B.C.D.9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（ ）A.B.C.D.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百
4、、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.B.C.D.11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，则（ ）A.B.C.D.12.已知函数，给出以下四个命题：为偶函数；为偶函数；的最小值为0；有两个零点.其中真命题的是（ ）A.B.C.D.第卷（非选择题90分）考生注意：本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向
5、量，满足，则与的夹角为_.14.设x，y满足约束条件，则的最大值是_.15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为_.16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是_.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.（）求证：a，b，c成等差数列；（）若，求a，c的值18.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，且，平面平面.（）求证：平面平面；（）若，二面角为，求的值.
6、19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，的中点分别为E，F，的周长为.（）求椭圆C的标准方程；（）设的重心为G，若，求直线l的方程.20.（本小题满分12分）己知函数（）.（）若，求的单调性和极值（）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：率先得到21分的一方赢得该局比赛；如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；如果双方得分出现，先取得30分的一方该局
7、获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.（）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；（）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？甲得分乙得分总计甲发球50100乙发球6090总计190已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.参考公式：，其中.临界值表供参考：P（）0.150.100.050.010
8、0.001k2.0722.7063.8416.63510.828请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.（）求曲线E的普通方程及极坐标方程；（）求的值.23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数的最大值为m.（）求m的值；（）若a，b，c为正数，且，求证：.理科数学答案本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试
9、时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（C）A.B.C.D.解：，故选C.2.已知复数z满足，则（D）A.B.C.D.解：，故选D.3.已知等比数列的前n项和为，且，则（A）A.B.
10、1C.D.2解：法一：依题意知，两式相除得，解得，故选A.法二：依题意得，故选A4.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（B）A.2B.C.3D.解：将代入抛物线C的方程，可得，则，故选B5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（D）A.B.C.D.解：依题意得，则，显然该函数为奇函数，且当时，故选D.6.已知，则下列结论正确的是（C）A.B.C.D.解：法一：对于选项A：，错误；对于选项B：，错误；对于选项C：，在上单调递减，由得，；，在上单调递增，由得，；，正确；故选C.法二：取，则，显然，故A选项错误：，显然，故B选项错误：，显然，故C选项正确；，显然，故
11、D选项错误；故选C.7.若（）能被9整除，则的最小值为（B）.3B.4C.5D.6解：，其中能被9整除，能被9整除，则当时，最小，且能被9整除，故选B.8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（C）A.B.C.D.解
12、：依题意得“斗冠”的高为米，如图，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，故选C.9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（A）A.B.C.D.解：如图，四边形为菱形，又是圆O的直径，故选A.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠
13、，则所拨数字大于200的概率为（D）A.B.C.D.解：依题意得所拨数字共有种可能，若上珠拨的是千位档或百位档，则有种；若上珠拨的是个位档或十位档，则有种，则所拨数字大于200的概率为，故选D.11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，则（B）A.B.C.D.解：正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长，圆的中心运动轨迹长也为，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足，故选B.12.
14、已知函数，给出以下四个命题：为偶函数；为偶函数；的最小值为0；有两个零点.其中真命题的是（C）A.B.C.D.解：，为偶函数，正确；的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，错误；，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，.考查函数，令，则或，当时，单调递增，单调递减，单调递减；当时，单调递增，单调递增，单调递增，时，又为偶函数，时，正确，考查函数，令得，又，直线与函数恰有两个交点，故有两个零点，正确.故选C.第卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2
15、0分.13.已知向量，满足，则与的夹角为.解：，与的夹角为.14.设x，y满足约束条件，则的最大值是.解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过时取得最大值，即，15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为.解：设O为正方形的中心，的中点为M，连接，则，如图，在截面中，设N为球与平面的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，则，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，故小球的体积.16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是.解：当时，当时，两式相减得.，当时，得，数列从第2项起，
16、偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列，数列单调递增，则满足，解得.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.（）求证：a，b，c成等差数列；（）若，求a，c的值解：（）证明：，即由正弦定理得，即a，b，c成等差数列（），B为锐角，由余弦定理得，即由得，18.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，且，平面平面.（）求证：平面平面；（）若，二面角为，求的值.解：（）取的中点E，连接，是矩形，又平面平面，平面又平面，又，平面，
17、平面，且，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，平面，又平面，平面平面（）由（）得，以E为原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，则，易知平面的一个法向量为设为平面的法向量，由得，令，得，解得，19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，的中点分别为E，F，的周长为.（）求椭圆C的标准方程；（）设的重心为G，若，求直线l的方程.解：（），连接，O分别为，的中点，同理，的周长为，又，.椭圆C的标准方程为.（）过点且斜率不为0，可设l的方程为，设，由得，又，即令，解得直线l的方程为或20.（
18、本小题满分12分）己知函数（）.（）若，求的单调性和极值（）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.解：（）法一：当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极小值，极小值为，无极大值.法二：当时，在上单调递增，且，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增在处取得极小值，极小值为，无极大值（），由得令，则由得.令，当时，在单调递增，存在，使得且当时，即，当时，即，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增在处取得最小值，即，即当时，函数无零点，当时，函数至少有1个零点，故a的取值范围是21.（本小题满分12分）羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方
19、得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：率先得到21分的一方赢得该局比赛；如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.（）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；（）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？甲得分乙得分总计甲发球50100乙发球6090总计190
20、已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.参考公式：，其中.临界值表供参考：P（）0.150.100.050.0100.001k2.0722.7063.8416.63510.828解：（）甲以（，）获胜，则在这个回合的争夺中，前个回合里，甲赢下20个回合，输掉i个回合，且最后一个回合必需获胜.，（）列联表如甲得分乙得分总计甲发球5050100乙发球603090总计11080190，有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”由列联表知，此局比赛结束，比分可能是，4，5若比分为，则甲获胜概率为，乙获胜概率为，若比分为，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙
21、甲甲甲，其概率，乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率，若比分为，则，X的分布列为X245P请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.（）求曲线E的普通方程及极坐标方程；（）求的值.解：（）由E的参数方程（为参数），知曲线E是以为圆心，半径为2的圆，曲线E的普通方程为令，得，即曲线E极坐标方程为（）依题意得，根据勾股定理，分将，代入中，得，设点A，B，C，D所对应的极径分别为，则，23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数的最大值为m（）求m的值；（）若a，b，c为正数，且，求证：.解：（）的定义域为，当且仅当，即或时取等号，（）由（）知，相加得，当且仅当时取等号.
