1、2015-2016学年上海市曹杨中学等四校联考高一（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1不等式|x+3|1的解集是2已知A=x|2x4，xZ，则Z+A的真子集的个数是 个3如果集合P=（x，y）|y=x2，xR，集合Q=（x，y）|y=x2+2，xR，则PQ=4函数的定义域为5命题“若a1且b1，则a+b2”的否命题是命题（填“真”或“假”）6若x、y0，且，则x+2y的最小值为7若不等式（ab）x+a+2b0的解是，则不等式axb的解为8有四个命题：（1）若ab，则ac2bc2；（2）若ab0，则a2b2；（3）若，则a1；（4）1a2且0b3，则2ab2其中真
2、命题的序号是9有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是400（cm2），则杯子的容积V（cm3）表示成杯子底面内半径r（cm）的函数解析式为10请在图中用阴影部分表示下面一个集合：（AB）（AC）（uBuC）11已知a0，若不等式|x4|+|x3|a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是12对于实数x，若nxn+1，规定x=n，（nZ），则不等式4x220x+210的解集是二、选择题：（共4小题，每小题4分，满分16分）13若集合A=1，m2，B=2，4，则“m=2”是“AB=4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14有四组函数f（x）=1与g（x）=x0
3、；与g（x）=x；f（x）=x与；f（x）=x与其中是同一函数的组数（）A4个B3个C2个D1个15命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x2116设关于x的不等式的解集为S，且3S，4S，则实数a的取值范围为（）ABCD不能确定三、解答题：（共5小题，共56分）17已知集合A=x|x2mx+m219=0，B=x|x25x+6=0，C=2，4，若AB，AC=，求实数m的值18已知集合（1）若BA，求实数a的取值范围；（2）若AB=，求实数a的取值范围19某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000
4、元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20已知集合M=x|x24x+30，N=x|x3|1（1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算，使MN=x|1x2；（3）若有P=x|，按（2）的运算，求出（NM）P21若实数x，y，m满足|xm|ym|，则称x比y接近m（1）若4比x23x接近0，求x的取值范围；（2）对于任意的两个不等正数a，b，求证：a+b比接近；（3
5、）若对于任意的非零实数x，实数a比接近1，求a的取值范围2015-2016学年上海市曹杨中学等四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1不等式|x+3|1的解集是（，4）（2，+）【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】直接转化绝对值不等式，求解即可【解答】解：不等式|x+3|1等价于x+31或x+31，解得x（，4）（2，+）故答案为：（，4）（2，+）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力2已知A=x|2x4，xZ，则Z+A的真子集的个数是 7个【考点】子集与真子集【专题】综合题【分析】先根据集合A中的范
6、围及x属于整数，得到集合A中的元素，然后确定出Z+A中的元素，求出Z+A的真子集的个数即可【解答】解：由集合A=x|2x4，xZ，得到集合A=1，0，1，2，3，所以Z+A=1，2，3，则Z+A的真子集为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，共7个故答案为：7【点评】此题考查了交集的求法，会根据集合中元素的个数求出集合的真子集，是一道综合题3如果集合P=（x，y）|y=x2，xR，集合Q=（x，y）|y=x2+2，xR，则PQ=（1，1），（1，1）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】联立方程组求解交点坐标即可【解答】解：由题意可得：，解得y=1，x=1，集合P=（x，y）|y=x2，xR
7、，集合Q=（x，y）|y=x2+2，xR，则PQ=（1，1），（1，1）故答案为：（1，1），（1，1）【点评】本题考查集合的交集的求法，方程组的解法，考查计算能力4函数的定义域为0，2）（2，3【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案【解答】解：由，解得0x3，且x2函数的定义域为0，2）（2，3故答案为：0，2）（2，3【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题5命题“若a1且b1，则a+b2”的否命题是假命题（填“真”或“假”）【考点】四种命题的真假关系；四种命题间的逆否关系
8、【专题】简易逻辑【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，写出它的否命题判断即可【解答】解：命题“若a1，且b1，则a+b2的否命题是：“若a1，或b1，则a+b2”，是假命题故答案为：假【点评】本题考查了四种命题之间的关系，解题时应熟记四种命题之间的关系是什么，是容易题6若x、y0，且，则x+2y的最小值为9【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得x+2y=（x+2y）（+）=5+，利用基本不等式可得【解答】解：x、y0，且，x+2y=（x+2y）（+）=5+5+2=9，当且仅当=即x=y=3时取等号故答案为：9【点评】本题考查基本不等式求最值，“1”的整
9、体代换是解决问题的关键，属基础题7若不等式（ab）x+a+2b0的解是，则不等式axb的解为x|x1【考点】其他不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得 ab， =，求得=1，a0，从而求得不等式axb 的解集【解答】解：由于不等式（ab）x+a+2b0的解是，ab， =，求得=1，a0，故不等式axb，即 x=1，即 x1，故答案为：x|x1【点评】本题主要考查一次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题8有四个命题：（1）若ab，则ac2bc2；（2）若ab0，则a2b2；（3）若，则a1；（4）1a2且0b3，则2ab2其中真命题的序号是（4）【考点】命题的真假判断
10、与应用【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】利用不等式的基本性质即可判断出【解答】解：（1）若ab，则ac2bc2，不正确，c=0时不成立；（2）若ab0，则a2b2，因此不正确；（3）若，则0a1，因此不正确；（4）0b3，3b0，又1a2，2ab2，正确故答案为：（4）【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是400（cm2），则杯子的容积V（cm3）表示成杯子底面内半径r（cm）的函数解析式为【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数的性质及应用【分析】通过杯子底面内半径可知杯子底面表面积为r
11、2cm2、周长为2rcm，进而可知杯子的深度、r的取值范围，进而利用圆柱的体积公式计算即可【解答】解：依题意，杯子底面表面积为r2cm2，周长为2rcm，则杯子的深度为： cm，0，0r，故答案为：【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题10请在图中用阴影部分表示下面一个集合：（AB）（AC）（uBuC）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据图象确定集合关系即可得到结论【解答】解：由已知中的韦恩图，可得：（AB）（AC）（uBuC）表示的区域如下图中阴影部分所示：【点评】本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运
12、算，分析集合运算结果中，元素所满足的性质，是解答本题的关键但要注意运算的次序，以免产生错误11已知a0，若不等式|x4|+|x3|a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是（1，+）【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】法一：利用绝对值不等式的性质：|a|+|b|a+b|（当且仅当a与b同号取等号），求出原不等式左边的最小值，让a大于求出的最小值，即可得到满足题意的实数a的取值范围法二：由绝对值的几何意义知|x4|+|x+3|表示实数轴上的点到3和到4两点的距离之和，故范围可求出，由题意a大于|x4|+|x+3|的最小值即可【解答】解：法一：|x4|+|x+3|x43
13、x|=7，|x4|+|x+3|的最小值为7，又不等式|x4|+|x+3|a的解集不是空集，a7法二：由绝对值的几何意义知|x4|+|x+3|表示实数轴上的点到3和到4两点的距离之和，故|x4|+|x+3|7，由题意，不等式|x4|+|x+3|a在实数集上的解不为空集，只要a（|x4|+|x+3|）min即可，即a7，故答案为：（1，+）【点评】本题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向12对于实数x，若nxn+1，规定x=n，（nZ），则不等式4x220x+210的解集是2，4）【考点】其他不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由
14、条件求得求得x，再根据x的定义，可得x的范围【解答】解：不等式4x220x+210，求得x，2x4，故答案为：2，4）【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，x的定义，属于基础题二、选择题：（共4小题，每小题4分，满分16分）13若集合A=1，m2，B=2，4，则“m=2”是“AB=4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】当m=2时，可直接求AB；反之AB=4时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可【解答】解：若m=2，则A=1，4，B=2，4，AB=4，“m=2”是“
15、AB=4”的充分条件；若AB=4，则m2=4，m=2，所以“m=2”不是“AB=4”的必要条件则“m=2”是“AB=4”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基本题14有四组函数f（x）=1与g（x）=x0；与g（x）=x；f（x）=x与；f（x）=x与其中是同一函数的组数（）A4个B3个C2个D1个【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】函数的性质及应用【分析】由函数的三要素，逐个选项验证可得【解答】解：选项f（x）=1定义域为R，g（x）=x0定义域为x|x0，故不是同一函数；选项=x，与g（x）=x为同一函数；选项f（x）=x定义域为R，定义域为0
16、，+），故不是同一函数；选项f（x）=x，二=|x|，故不是同一函数故选：D【点评】本题考查同一函数的判断，考查函数的三要素，属基础题15命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x21【考点】四种命题间的逆否关系【专题】简易逻辑【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可【解答】解：命题“若x21，则1x1”的逆否命题是：若x1或x1，则x21故选：D【点评】本题考查四种命题的否定关系，是基础题16设关于x的不等式的解集为S，且3S，4S，则实数a的取值范围为（）ABCD不能确定【考点】其他不等式的解法
17、；元素与集合关系的判断【专题】计算题【分析】由已知中关于x的不等式的解集为S，且3S，4S，将3，4分别代入可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围【解答】解：关于x的不等式的解集为S，若3S，则，解得a（，）（9，+）若4S，则16a=0，或，解得a，16（，）（9，+），16=故实数a的取值范围为故选C【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，元素与集合关系的判定，其中根据已知条件构造关于a的不等式是解答本题的关键，本题易忽略4S时，包括4使分母为0的情况，而错解为三、解答题：（共5小题，共56分）17已知集合A=x|x2mx+m219=0，B=x|x25x+6=0，
18、C=2，4，若AB，AC=，求实数m的值【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】由A，B，C，以及AB，AC=，确定出m的值即可【解答】解：由B中方程变形得：（x2）（x3）=0，解得：x=2或x=3，即B=2，3，A=x|x2mx+m219=0，C=2，4，且AB，AC=，将x=3代入集合A中方程得：m22m10=0，即（m5）（m+2）=0，解得：m=5或m=2，当m=5时，A=x|x25x+6=0=2，3，此时AC=2，不合题意，舍去；当m=2时，A=x|x2+2x15=0=3，5，满足题意，则m的值为2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键18已知集合（1）若
19、BA，求实数a的取值范围；（2）若AB=，求实数a的取值范围【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用【专题】集合【分析】求出A中不等式的解集确定出A，分类讨论a的范围表示出B，（1）根据B为A的子集，确定出a的范围即可；（2）根据两集合的交集为空集，分B为空集与B不为空集两种情况求出a的范围即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（x4）0，解得：2x4，即A=（2，4），由B中不等式变形得：（xa）（x2a）0，当a2a，即a0时，解得：2axa，此时B=（2a，a）；当a2a，即a0时，解得：ax2a，此时B=（a，2a），当a=2a，即a=0时，B=，（1）BA，B=（2a，
20、a），A=（2，4），且a0，即1a0；BA，B=（a，2a），A=（2，4），且a0，即0a2，当B=，即a=0时，满足题意，综上，a的范围为1a2；（2）AB=，当B=时，a=2a，即a=0；当B时，B=（2a，a），A=（2，4），可得a2或a4（舍去）；B=（a，2a），A=（2，4），可得2a2或a4，解得：a1（舍去）或a4，综上，a的范围为：a4或a2或a=0【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键19某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元
21、，未租出的车每辆每月需要维护费50元（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义【专题】应用题；压轴题【分析】（）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；（）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则作为应用题要注意下好结论【解答】解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车（）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得所以，当x=405
22、0时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元【点评】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值特别是二次函数的知识得到了充分的考查在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究20已知集合M=x|x24x+30，N=x|x3|1（1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算，使MN=x|1x2；（3）若有P=x|，按（2）的运算，求出（NM）P【考点】子集与交集、并集运算的转换【专题】计算题；集合【分析】（1）利用不等式的解法，求出集合M，N；（
23、2）MN中的元素都在M中但不在N中；（3）P=x|=（2.5，3.5，按（2）的运算，即可求出（NM）P【解答】解：（1）M=x|x24x+30=x|1x3，N=x|x3|1=x|2x4（2）MN中的元素都在M中但不在N中，定义MN=x|xM且xN（2）P=x|=（2.5，3.5，NM=x|2x3，（NM）P=x|2x2.5【点评】本题考查集合的运算，考查学生解不等式的能力，属于中档题21若实数x，y，m满足|xm|ym|，则称x比y接近m（1）若4比x23x接近0，求x的取值范围；（2）对于任意的两个不等正数a，b，求证：a+b比接近；（3）若对于任意的非零实数x，实数a比接近1，求a的取值
24、范围【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）由题意得：|x23x|4，则x23x4或x23x4，由此求得x的范围（2）根据，且，化简|a+b2|的结果大于零，可得a+b比接近（3）由题意对于xR，x0恒成立，分类讨论求得|x+1|的最小值，可得|a+1|的范围，从而求得a的范围【解答】解：（1）由题意得：|x23x|4，则x23x4或x23x4，由x23x4，求得x4或x1；由x23x4，求得x无解所以x取值范围为（，1）（4，+）（2）因为a，b0且ab，所以，且，所以=，则，即a+b比接近（3）由题意：对于xR，x0恒成立，当x0时，当x=2时等号成立，当x0时，则x0，当x=2时等号成立，所以，则，综上故由|a+1|3，求得4a2，即a取值范围为（4，2）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题
